). Линейный функционал Mx{f(x)}, заданный на пространстве всех п. п. ф., наз. средним значением, если 1) [img: http://localhost:8080/file/041738-95.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041738-96.jpg] и Mx{f(x)}>0 для [img: http://localhost:8080/file/041738-97.jpg] 2) M х {f(xа) }= М x {f(ax) }= М x {f(x-1)}. Унитарная матрица [img: http://localhost:8080/file/041738-98.jpg], заданная на G, наз. унитарным представлением группы G, если g(e)=Ir(е - единица группы G, Ir - единичная матрица порядка r).и для любых элементов [img: http://localhost:8080/file/041738-99.jpg] имеет место равенство g(xy)=g(x)g(y). Число rназ. размерностью представления g. Матричные элементы gij(x).суть п. п. ф. на G. В теории п. п. ф. на группе они играют ту же роль, что и функции ехр(ilx) в теории п. п. ф. на прямой R1. Два представления g(x).и g'(x).наз. эквивалентными, если существует такая постоянная матрица А, что g'(x)=A-1g(x)A. Представление g наз. неприводимым, если семейство матриц [img: http://localhost:8080/file/041738-100.jpg], не имеет общего нетривиального инвариантного подпространства в [img: http://localhost:8080/file/041738-101.jpg]. Множество всех неприводимых унитарных представлений разбивается на классы эквивалентных между собой представлений. Пусть из каждого класса эквивалентных представлений выбрано по одному представлению и полученное множество обозначено S. Тогда множество п. п. ф. на G [img: http://localhost:8080/file/041738-102.jpg] оказывается ортогональной (хотя, вообще говоря, несчетной) системой. Теорема 1 (равенство Парсеваля). Если для п. п. ф. f(x).положить [img: http://localhost:8080/file/041738-103.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/041738-104.jpg] Говорят, что представление [img: http://localhost:8080/file/041738-105.jpg] входит в ряд Фурье п. п. ф. f(x), если [img: http://localhost:8080/file/041738-106.jpg] для нек-рых [img: http://localhost:8080/file/041738-107.jpg] Теорема 2 (теорема аппроксима-ц и и). Множество Нплотно в пространстве п. п. ф., наделенном нормой [img: http://localhost:8080/file/041738-108.jpg] причем каждую п. п. ф. можно сколь угодно близко аппроксимировать конечной линейной комбинацией матричных элементов представлений, входящих в ее ряд Фурье. Если G - топологич. группа, то к определению п. п. ф. нужно добавить требование ее непрерывности. В этом случае и представления, входящие в ее ряд Фурье, также будут непрерывными. В случае, когда группа Gабелева, непрерывные унитарные представления одномерны - они наз. характерами группы G. Характеры группы Gобозначаются через и, и равенство Парсеваля таково: [img: http://localhost:8080/file/041738-109.jpg] В случае [img: http://localhost:8080/file/041738-110.jpg] непрерывными характерами являются функции х(.г) = ехр(гЯ-.г), где [img: http://localhost:8080/file/041738-111.jpg], Я Хг=Я 1 х 1+...+ --К п х п. Из теорем 1, 2 следуют основные результаты теории п. п. ф. одного и многих переменных. Доказательство основных положений теории п. п. ф. опирается на рассмотрение интегральных уравнений на группе (см

http://libmeta.ru/resource/mathenc/publication/p8386