ОДУ первого порядка, разрешенное относительно производной, однородное

<b> Определение </b> . $$ Функция $z=f\left(x,y\right),$ определенная на множестве $G,$ называется однородной функцией степени $m$ на этом множестве, если для всякой точки $\left(x,y\right)?G$ и для каждого числа $t,$ для которого точка $\left(tx,ty\right)?G,$ имеет место равенство: $f\left(tx,ty\right)=t^{m}f\left(x,y\right).$ <br/> (См. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325014">Основы математического анализа. Ч.1. Изд. 3-е, исправл. и дополн.(c. 487-488)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325039">Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1.(c. 452-455)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325091">Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. Изд. 2-е, перераб. (с.367-367)</a> 367.) <br/> При $m=0$ и $t=1/x$ получаем (1) и (2): «однородная функция нулевой степени есть функция отношений всех переменных к одному из них». <br/> И еще: «... функция двух переменных $f\left(x,y\right)$ тогда и только тогда будет функцией от одного отношения $y/x,$ когда величина функции $f\left(x,y\right)$ не меняется при умножении $x$ и $y$ на произвольный множитель $t,$ т. е. $f\left(tx,ty\right)=f\left(x,y\right).$ Условие это равносильно тому, что $f\left(x,y\right)$ есть однородная функция $x$ и $y$ нулевой степени». <br/> Заметим, что если $P\left(x,y\right)$ и $Q\left(x,y\right)$ однородные функции одной и той же степени, то $f\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)/Q\left(x,y\right)$ есть однородная функция нулевой степени (где отношение имеет смысл). <br/> Пусть $y/x=u.$ <br/> <b> Теорема </b> . $$ Однородное ОДУ $dy/dx=\left(y/x\right)$ при условии, что $\left(u\right)$ непрерывна и $\left(u\right)?u$ в интервале $\left(a,b\right),$ имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах. При этом через каждую точку $\left(x_0,y_0\right)$ области $G,$ лежащей внутри вертикальных углов, ограниченных прямыми $y=ax$ и $y=bx$ и не содержащей прямой $x=0,$ проходит единственная интегральная кривая. <br/> (См. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325043">Дифференциальные уравнения. Учебное пособие для физ.-матем. факультетов пед. институтов.(c. 25-33)</a> ; <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325030">Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 6-е, исправл.(c. 25-28)</a> .) <br/> ОДУ $M\left(x,y\right)dx+N\left(x,y\right)dy=0,$ где $M\left(x,y\right)$ и $N\left(x,y\right)$ — однородные функции од- ной и той же степени, подстановкой вида $y=u?x$ $(u$ — новая искомая функция от $x)$ приводится к уравнению: $$\frac{dx}{x}+\frac{N\left(1,u\right)?du}{M\left(1,u\right)+N\left(1,u\right)u}=0.$$ Геометрическая интерпретация однородного ОДУ ${y_x}^{\text{'}}=\left(y/x\right)$ означает (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 47-50)</a> ): все интегральные кривые однородного уравнения пересекают любую прямую, проходящую через начало координат под одним и тем же (постоянным для этой прямой) углом. <br/> Иными словами (см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325033">Курс высшей математики. Т.II. Изд. 14-е, исправл.(c. 15-19)</a> ): вдоль всякой прямой, проходящей через начало координат, касательные к интегральным кривым однородного уравнения должны быть параллельны между собой. <br/> При использовании подстановки $y=u?x$ и разделении переменных (см. (1) и (2)) возможно появление особых решений. См., например, <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 45-47)</a> . <br/>