Якоби ОДУ первого порядка

$1^{?}.$ Пусть $a_0=b_0=c_0=0$ (см. (3)). Это дает: $$\left(a_{1}x+a_{2}y\right)\left(x?dy-y?dx\right)+\left(b_{1}x+b_{2}y\right)dy+\left(c_{1}x+c_{2}y\right)dx=0.$$ Получили ОДУ, которое подстановкой $y=u\left(x\right)?x$ преобразуется в следующее соотношение: $$\frac{dx}{du}+\frac{b_1+b_{2}u}{\left(b_1+b_{2}u\right)u+\left(c_1+c_{2}u\right)}x+\frac{a_1+a_{2}u}{\left(b_1+b_{2}u\right)u+\left(c_1+c_{2}u\right)}{x}^2=0.\left(4\right)$$ Соотношение (4) является Бернулли ОДУ с искомой функцией $x$ от переменной $u$ и показателем, равным 2. Отметим, что функция $x=0$ является решением уравнения(4). <br/> <p> $2^{?}.$ Если $a_2=b_2=c_2=0$ (см. (3)), то получаем: $$\frac{dy}{dx}-\frac{a_0+a_{1}x}{\left(a_0+a_{1}x\right)x+\left(b_0+b_{1}x\right)}y+\frac{c_0+c_{1}x}{\left(a_0+a_{1}x\right)x+\left(b_0+b_{1}x\right)}=0.\left(5\right)$$ ОДУ (5) — линейное уравнение с искомой функцией $y$ от переменной $x.$ <br/> <p> $3^{?}.$ Положим $a_1=a_2=0$ (см. (3)). В этом случае уравнение (3) приводится к ОДУ типа $$\frac{dy}{dx}=\frac{q_0+q_{1}x+q_{2}y}{p_0+p_{1}x+p_{2}y}$$ См. статью «ОДУ первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными» |DE0028|. <br/> Методы решения Якоби ОДУ первого порядка рассмотрены в книгах: <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 41-46)</a> (по лекциям проф. Д. Ф.Егорова), <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 74-80)</a> (со ссылкой на курс лекций проф. Н. М.Гюнтера), <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325006">Курс математического анализа. Т.2. Теория аналитических функций. Дифференциальные уравнения. Пер. с франц. проф. А.И.Некрасова / Под ред. Б.К.Млодзеевского. Просмотрен и переработан по пятому франц. изд. проф. В.В.Степановым. Изд. 3-е. (с.269-269)</a> ; см. также статью проф. Н . Х . Розова в Математической Энциклопедии, т. 5, Слу-Я, с. 1052. <br/>