Лагранжа ОДУ первого порядка

( <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325024">Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Изд. 5-е, дополн.(c. 130-133)</a> ). Пусть $y^{\text{'}}=p$ и тогда (см. (1)) имеем: $$y=\left(p\right)x+?\left(p\right),y^{\text{'}}=p.\left(2\right)$$ На основании (2) равенство $dy=y^{\text{'}}?dx$ преобразуется в следующее соотношение: $$\left[\left(p\right)-p\right]dx+\left[{}^{\text{'}}\left(p\right)x+{?}^{\text{'}}\left(p\right)\right]dp=0.\left(3\right)$$ Далее, полагают, что $\left(p\right)-p?0,$ т. е. в уравнении (1) считают, что $\left(y^{\text{'}}\right)?y^{\text{'}}.$ Но тогда уравнение (3) правомерно рассматривать в виде линейного ОДУ с искомой функцией $x$ от переменной $p$ : $$\frac{dx}{dp}+\frac{{}^{\text{'}}\left(p\right)}{\left(p\right)-p}x=\frac{{?}^{\text{'}}\left(p\right)}{p-\left(p\right)}.\left(4\right)$$ Общее решение уравнения (4) имеет вид: $$x=A\left(p\right)?C+B\left(p\right),\left(5\right)$$ где $A\left(p\right)C$ — общее решение соответствующего однородного уравнения, $B\left(p\right)$ — частное решение уравнения (4). <br/> На основе (5) и (2) получаем выражение для $y$ : $$y=A\left(p\right)\left(p\right)C+B\left(p\right)\left(p\right)+?\left(p\right)\left(6\right)$$ Получили общее решение уравнения (1) в параметрическом виде: формулы (5) и (6). <br/> Исключая параметр $p$ из равенств (5) и (6), получим общее решение (общий интег- рал) уравнения (1) в виде $$?\left(x,y,C\right)=0.$$ В общем случае <br/> необходимо рассмотреть уравнение: $$\left(p\right)-p=0,\left(7\right)$$ которое может иметь корни $p=p_i,$ $i=1,2,\dots$ <br/> Поскольку $\left(p_i\right)=p_i,$ то соотношения $$y=p_{i}x+?\left(p_i\right),i=1,2,\dots ,\left(8\right)$$ являются решениями уравнения (1). Решения (8) могут быть как частными решениями, так и особыми, которыми могут быть только прямые вида (8). <br/> поводу изоклин уравнения Лагранжа см. <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325033">Курс высшей математики. Т.II. Изд. 14-е, исправл.(c. 39-41)</a> , а также <a href="/object/show?uri=http%3A%2F%2Flibmeta.ru%2Fresource%2Fpublications%23odu%2325034">Курс дифференциальных уравнений. Изд. 8-е, стереотип.(c. 117-120)</a> . <br/> с. 132—133.) $$y=y^{?1pt2}?x+y^{?1pt2}.$$ Общее решение: $y={\left(\sqrt{x+1}+C\right)}^2;$ $y^{\text{'}}=p.$ Уравнение $p^2-p=0$ дает: $p_1=0$ и $p_2=1$ и имеем два решения — $y=0$ и $y=x+1.$ Второе решение получается из общего решения при $C=0.$ Решение $y=0$ — особое решение. <br/> О дальнейшем см. цитированную литературу. <br/>