ИНВАРИАНТНЫЙ ТОР

инвариантное многообразие динамической системы (отображения или фазового потока векторного поля), диффеоморфное или гомеоморфное $n$-мерному тору $T^{n}=(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z})^{n}$. И. т. служит математич. описанием колебательных процессов в динамич. системах. Простейшим примером И. т. является замкнутая траектория фазового потока векторного поля $V$ (то есть периодич. решение дифференциального уравнения $d x / d t=V(x))$. Для общей теории И. т. этот пример нехарактерен, так как большинство аспектов этой теории в размерности $n=1$ для потоков становятся тривиальными. Поэтому, как правило, в общей теории И. т. рассматривают $n$-мерные И. т. потоков при $n \geqslant 2$ и отображений при $n \geqslant 1$. С помощью перехода к сечению Пуанкаре изучение И. т. $T^{n}$ фазового потока часто можно свести к изучению И. т. $T^{n-1}$ соответствующего отображения Пуанкаре. Другим простейшим примером И. т., тоже исключительным, являются И. т. в линейных системах. В теории И. т. рассматриваются следующие вопросы: условия существования И. т. и устойчивость И. т. при малых шевелениях системы, поведение траекторий на И. т. и в его окрестности, бифуркации И. т. и семейств И. т. Свойства И. т. резко различаются в динамич. системах с той или иной симметрией (напр., в гамильтоновых или обратимых системах) и в системах общего вида. $n$-мерные И. т. гамильтоновых систем с $N \geqslant n$ степенями свободы (или $n$-мерные И. т. обратимых систем с фазовым пространством размерности $2 N \geqslant 2 n$, пересекающие $N$-мерное многообразие неподвижных точек обращающей инволюции) присутствуют в фазовом пространстве, как правило, в большом количестве, образуя $n$-параметрич. канторовы семейства, и $2 n$-мерная мера объединения всех И. т. из данного семейства положительна. Движение на этих И. т. условно-периодично с сильно несоизмеримыми частотами. Гладкость И. т. лишь незначительно ниже гладкости самой системы, и если последняя бесконечно дифференцируема или аналитична, то таковы и И. т. (см. KAM-теория). Напротив, И. т. систем общего вида встречаются в фазовом пространстве, как правило, изолированно. Движение на этих И. т. не является, вообще говоря, условно-периодическим, и они часто имеют лишь конечную гладкость, даже если сама система бесконечно дифференцируема или аналитична. Одной из широко распространенных бифуркаций И. т. является рождение $(n+1)$-мерных И. т. из $n$-мерных, напр. двумерного И. т. из предельного цикла. При другой типичной бифуркации И. т. постепенно теряет гладкость, превращается в странный аттрактор, оставаясь уже лишь топологич. подмногообразием фазового пространства, и, наконец, разрушается с возникновением стохастич. колебаний. Лит.: [1] Самойленко А. М., Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы, М., 1987; [2] Broer H. W. [a. o.], «Mem. Amer. Math. Soc.», 1990, v. 83, № 421; [3] Анищенко В. С., Сложные колебания в простых системах, М., 1990. М. Б. Севрюк.

инвариантное многообразие динамической системы (отображения или фазового потока векторного поля), диффеоморфное или гомеоморфное $n$-мерному тору $T^{n}=(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z})^{n}$. И. т. служит математич. описанием колебательных процессов в динамич. системах. Простейшим примером И. т. является замкнутая траектория фазового потока векторного поля $V$ (то есть периодич. решение дифференциального уравнения $d x / d t=V(x))$. Для общей теории И. т. этот пример нехарактерен, так как большинство аспектов этой теории в размерности $n=1$ для потоков становятся тривиальными. Поэтому, как правило, в общей теории И. т. рассматривают $n$-мерные И. т. потоков при $n \geqslant 2$ и отображений при $n \geqslant 1$. С помощью перехода к сечению Пуанкаре изучение И. т. $T^{n}$ фазового потока часто можно свести к изучению И. т. $T^{n-1}$ соответствующего отображения Пуанкаре. Другим простейшим примером И. т., тоже исключительным, являются И. т. в линейных системах. В теории И. т. рассматриваются следующие вопросы: условия существования И. т. и устойчивость И. т. при малых шевелениях системы, поведение траекторий на И. т. и в его окрестности, бифуркации И. т. и семейств И. т. Свойства И. т. резко различаются в динамич. системах с той или иной симметрией (напр., в гамильтоновых или обратимых системах) и в системах общего вида. $n$-мерные И. т. гамильтоновых систем с $N \geqslant n$ степенями свободы (или $n$-мерные И. т. обратимых систем с фазовым пространством размерности $2 N \geqslant 2 n$, пересекающие $N$-мерное многообразие неподвижных точек обращающей инволюции) присутствуют в фазовом пространстве, как правило, в большом количестве, образуя $n$-параметрич. канторовы семейства, и $2 n$-мерная мера объединения всех И. т. из данного семейства положительна. Движение на этих И. т. условно-периодично с сильно несоизмеримыми частотами. Гладкость И. т. лишь незначительно ниже гладкости самой системы, и если последняя бесконечно дифференцируема или аналитична, то таковы и И. т. (см. KAM-теория). Напротив, И. т. систем общего вида встречаются в фазовом пространстве, как правило, изолированно. Движение на этих И. т. не является, вообще говоря, условно-периодическим, и они часто имеют лишь конечную гладкость, даже если сама система бесконечно дифференцируема или аналитична. Одной из широко распространенных бифуркаций И. т. является рождение $(n+1)$-мерных И. т. из $n$-мерных, напр. двумерного И. т. из предельного цикла. При другой типичной бифуркации И. т. постепенно теряет гладкость, превращается в странный аттрактор, оставаясь уже лишь топологич. подмногообразием фазового пространства, и, наконец, разрушается с возникновением стохастич. колебаний. Лит.: [1] Самойленко А. М., Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы, М., 1987; [2] Broer H. W. [a. o.], «Mem. Amer. Math. Soc.», 1990, v. 83, № 421; [3] Анищенко В. С., Сложные колебания в простых системах, М., 1990. М. Б. Севрюк.