ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ

дифференциальная $k$-форма $\omega$ на гладком многообразии $M$, интегралы от которой по некоторым $k$-мерным цепям $c$ сохраняются заданным диффеоморфизмом $g: M \rightarrow M, \int_{g c} \omega=\int_{c} \omega$. И. и. называется абсолютным, если сохраняются интегралы по всем цепям, что равносильно тому, что $g^{*} \omega=\omega$. И. и. называется относительным, если сохраняются интегралы по замкнутым цепям. Пусть на симплектич. многообразии $\left(M^{2 n}, \omega\right)$ задан гамильтонов поток $g^{t}$ с гамильтонианом $H: M \times \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, где $\Delta=\{t\}-$ интервал оси времени. Поверхность $\Gamma \subset M \times \Delta$, составленная из фазовых траекторий, проходящих через нек-рую замкнутую гладкую кривую в расширенном фазовом пространстве $M \times \Delta$, называется трубкой траекторий. Теорема. Если две замкнутые кривые $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ охватывают одну и ту же трубку траекторий, то интегралы формы $p d q$ - Hdt по ним одинаковы: \[ \int_{\gamma_{1}} p d q-H d t=\int_{\gamma_{2}} p d q-H d t \] Форма $p d q-H d t$, определенная в пределах одной канонич. карты, называется Пуанкаре-Картана интегральным инвариантом. Следствие. Фазовый поток $g^{t}$ сохраняет интегралы формы $p d q$ по замкнутым кривым. Форма $p d q$ называется Пуанкаре интегральным инвариантом (относительным). Следствие. Симплектич. форма $\omega=d(p d q)$ является абсолютным И. и. фазового потока, то есть преобразования фазового потока являются симплектич. преобразованиями. Следствие. Абсолютными инвариантами фазового потока являются и формы $\omega^{1}, \omega^{2}, \ldots, \omega^{n}$. Последняя из этих форм является фазовым объемом. Следствие (Лиувилля теорема о фазовом объеме). Фазовый поток сохраняет объем в фазовом пространстве. Если гамильтонова система имеет первые интегралы $F_{1}$, $\ldots, F_{m}$, то сужение фазового потока $g^{t}$ на неособое инвариантное многообразие $M_{f}=\left\{F_{i}=f_{i}, i=1, \ldots, m\right\}$ сохраняет нек-рую меру с гладкой положительной плотностью: в качестве такой меры можно взять форму $d \sigma / V_{m}$, где $d \sigma-$ элемент объема $M_{f}$ как вложенного подмногообразия, а $V_{m}-m$-мерный объем параллелепипеда со сторонами grad $F_{1}, \ldots, \operatorname{grad} F_{m}$. Эта форма определяется лишь симплектич. структурой и не зависит от выбора метрики на $M$. М. Э. Казарян.

дифференциальная $k$-форма $\omega$ на гладком многообразии $M$, интегралы от которой по некоторым $k$-мерным цепям $c$ сохраняются заданным диффеоморфизмом $g: M \rightarrow M, \int_{g c} \omega=\int_{c} \omega$. И. и. называется абсолютным, если сохраняются интегралы по всем цепям, что равносильно тому, что $g^{*} \omega=\omega$. И. и. называется относительным, если сохраняются интегралы по замкнутым цепям. Пусть на симплектич. многообразии $\left(M^{2 n}, \omega\right)$ задан гамильтонов поток $g^{t}$ с гамильтонианом $H: M \times \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, где $\Delta=\{t\}-$ интервал оси времени. Поверхность $\Gamma \subset M \times \Delta$, составленная из фазовых траекторий, проходящих через нек-рую замкнутую гладкую кривую в расширенном фазовом пространстве $M \times \Delta$, называется трубкой траекторий. Теорема. Если две замкнутые кривые $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ охватывают одну и ту же трубку траекторий, то интегралы формы $p d q$ - Hdt по ним одинаковы: \[ \int_{\gamma_{1}} p d q-H d t=\int_{\gamma_{2}} p d q-H d t \] Форма $p d q-H d t$, определенная в пределах одной канонич. карты, называется Пуанкаре-Картана интегральным инвариантом. Следствие. Фазовый поток $g^{t}$ сохраняет интегралы формы $p d q$ по замкнутым кривым. Форма $p d q$ называется Пуанкаре интегральным инвариантом (относительным). Следствие. Симплектич. форма $\omega=d(p d q)$ является абсолютным И. и. фазового потока, то есть преобразования фазового потока являются симплектич. преобразованиями. Следствие. Абсолютными инвариантами фазового потока являются и формы $\omega^{1}, \omega^{2}, \ldots, \omega^{n}$. Последняя из этих форм является фазовым объемом. Следствие (Лиувилля теорема о фазовом объеме). Фазовый поток сохраняет объем в фазовом пространстве. Если гамильтонова система имеет первые интегралы $F_{1}$, $\ldots, F_{m}$, то сужение фазового потока $g^{t}$ на неособое инвариантное многообразие $M_{f}=\left\{F_{i}=f_{i}, i=1, \ldots, m\right\}$ сохраняет нек-рую меру с гладкой положительной плотностью: в качестве такой меры можно взять форму $d \sigma / V_{m}$, где $d \sigma-$ элемент объема $M_{f}$ как вложенного подмногообразия, а $V_{m}-m$-мерный объем параллелепипеда со сторонами grad $F_{1}, \ldots, \operatorname{grad} F_{m}$. Эта форма определяется лишь симплектич. структурой и не зависит от выбора метрики на $M$. М. Э. Казарян.