ИНТЕГРИРУЕМАЯ ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА; НЕВЫРОЖДЕННОСТЬ

для системы \[ \dot{I}=0, \dot{\varphi}=\partial H(I) / \partial I, \] где $I=\left(I_{1}, \ldots, I_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ - переменные действия, а $\varphi=\left(\varphi_{1}, \ldots\right.$, $\left.\varphi_{n}\right) \in T^{n}=(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z})^{n}-$ угловые переменные,- функциональная независимость частот \[ \omega_{i}(I)=\partial H(I) / \partial I_{i}, \quad i=1, \ldots, n, \] условно-периодического движения по инвариантным торам $\{I=$ const $\}$. Условие невырожденности имеет вид \[ \operatorname{det}\left(\frac{\partial \omega}{\partial I}\right)=\operatorname{det}\left(\frac{\partial^{2} H}{\partial I^{2}}\right) \neq 0 . \] Система (*) называется изоэнергетически невырожденной, если одна из частот $\omega_{i}$ не обращается в нуль, а отношения к ней остальных $n-1$ частот функционально независимы на гиперповерхностях уровня гамильтониана H. Условие изоэнергетич. невырожденности имеет вид \[ \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} \partial \omega / \partial I & \omega \\ \omega & 0 \end{array}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} \partial^{2} H / \partial I^{2} & \partial H / \partial I \\ \partial H / \partial I & 0 \end{array}\right) \neq 0 . \] Понятия невырожденности и изоэнергетич. невырожденности имеют локальные аналоги (для гамильтоновых систем в окрестности эллиптич. положения равновесия). Соответствующие формулировки, а также сведения о значении невырожденности для теории возмущений и теории малых колебаний см. в ст. КАМ-теория.

для системы \[ \dot{I}=0, \dot{\varphi}=\partial H(I) / \partial I, \] где $I=\left(I_{1}, \ldots, I_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ - переменные действия, а $\varphi=\left(\varphi_{1}, \ldots\right.$, $\left.\varphi_{n}\right) \in T^{n}=(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z})^{n}-$ угловые переменные,- функциональная независимость частот \[ \omega_{i}(I)=\partial H(I) / \partial I_{i}, \quad i=1, \ldots, n, \] условно-периодического движения по инвариантным торам $\{I=$ const $\}$. Условие невырожденности имеет вид \[ \operatorname{det}\left(\frac{\partial \omega}{\partial I}\right)=\operatorname{det}\left(\frac{\partial^{2} H}{\partial I^{2}}\right) \neq 0 . \] Система (*) называется изоэнергетически невырожденной, если одна из частот $\omega_{i}$ не обращается в нуль, а отношения к ней остальных $n-1$ частот функционально независимы на гиперповерхностях уровня гамильтониана H. Условие изоэнергетич. невырожденности имеет вид \[ \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} \partial \omega / \partial I & \omega \\ \omega & 0 \end{array}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} \partial^{2} H / \partial I^{2} & \partial H / \partial I \\ \partial H / \partial I & 0 \end{array}\right) \neq 0 . \] Понятия невырожденности и изоэнергетич. невырожденности имеют локальные аналоги (для гамильтоновых систем в окрестности эллиптич. положения равновесия). Соответствующие формулировки, а также сведения о значении невырожденности для теории возмущений и теории малых колебаний см. в ст. КАМ-теория.