КАНОНИЧЕСКАЯ СОПРЯЖЕННОСТЬ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

квантово-механический аналог сопряженности обобщенных координат и импульсов в гамильтоновом формализме классической механики (см. Канонические переменные). Сопряженными считаются наблюдаемые $\boldsymbol{Q}_{\boldsymbol{j}}, \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{j}}$; $j=1, \ldots, n$, подчиняющиеся каноническим коммутационным соотношениям. Проблема К. с. в квантовой механике состоит в том, что канонич. коммутационные соотношения Вейля, в силу Стоуна - Неймана теоремы единственности, определяют $Q_{j}, P_{j}$ однозначно с точностью до унитарной эквивалентности и поэтому не оставляют непосредственной возможности для описания пар канонически сопряженных величин со спектром, отличным от лебегова спектра на $\mathbb{R}$ (таких, как время - энергия, угол - угловой момент, фаза - число квантов и т. п.) (см. [1], [2]). Канонич. коммутационное соотношение Вейля для пары вещественных наблюдаемых $X, Y$ равносильно соотношению \[ e^{-i x Y} \mathscr{M}(B+x) e^{i x Y}=\mathscr{M}(\boldsymbol{B}) ; x \in \mathfrak{X}, B \in \mathscr{B}(\mathfrak{X}) \] где $\mathfrak{X}$ - вещественная прямая, $\boldsymbol{\mu}(\cdot)-$ спектральная мера наблюдаемой $X$. Возможный путь решения проблемы К. с. в квантовой механике состоит в том, что в качестве .и(.) в соотношении (1) допускаются произвольные разложения единицы. Напр., если $Y=P^{2} / 2 m$ - оператор энергии одномерной свободной частицы, то соотношению (1) удовлетворяет обобщенная спектральная мера максимального симметричного (несамосопряженного) оператора времени \[ X=\frac{m}{2}\left(P^{-1} Q+Q P^{-1}\right) . \] Более общим образом, пусть в (1) множество значений обобщенной координаты $\mathfrak{x}$ есть однопараметрич. группа Ли, то есть вещественная прямая $\mathbb{R}$ (случай линейной координаты) или окружность $\mathbb{1}$ (случай циклической координаты), а $Y$ - самосопряженный оператор, спектр к-рого лежит в дуальной группе $\hat{\boldsymbol{x}}$ (то есть в $\mathbb{R}$ или в множестве целых чисел $\mathbb{Z})$. Тогда $x \rightarrow V_{x}=\exp (i x Y)$ есть унитарное представление группы $\boldsymbol{x}$, а соотношение (1) определяет ковариантное разложение единицы $\boldsymbol{\mu}(\cdot)$ на $\boldsymbol{X}$, описывающее квантовое измерение обобщенной координаты. При таком подходе роль канонически сопряженных величин играет пара $\left(V_{(\cdot)}\right.$, М(.)), образующая обобщенную систему импримитивности. В случае $\boldsymbol{X}=\mathbb{T}$ последняя существует всегда, а в случае $\boldsymbol{X}=\mathbb{R}$ при условии, что спектр оператора $Y$ абсолютно непрерывен. Операторы $\left(V_{x}, U_{y}\right)$, где $U_{y}=\int_{\mathfrak{x}} e^{i x y} \mathscr{\mu}(d x)$, удовлетворяют канонич. коммутационному соотношению Вейля, хотя операторы $U_{y}$ не унитарны. Имеет место обобщение соотношения неопределенностей для пары $\left(V_{(\cdot)}, \mathscr{\mu}(\cdot)\right)$ : \[ \Delta_{y}(. u) D(Y) \geqslant \frac{1}{4} ; \quad y \in \hat{\boldsymbol{X}} \backslash 0, \] где $D(Y)$ - дисперсия наблюдаемой $Y$ в квантовом состоянии $\rho$, a \[ \Delta_{y}(u)=y^{-2}\left[\left|\int_{\mathfrak{X}} e^{i x y_{\mu}}(d x)\right|^{-2}-1\right], \] причем $\mu(\cdot)=\operatorname{Tr}_{\rho} \mu(\cdot)-$ распределение вероятностей обобщенной координаты. В случае $\mathfrak{X}=\mathbb{R}$ и $\boldsymbol{y} \rightarrow 0$ неравенство (2) переходит в соотношение неопределенностей Гейзенберга - Вейля. С физич. точки зрения основной интерес представляют экстремально точные измерения обобщенной координаты, минимизирующие функционал неопределенности $\Delta_{y}(\mathscr{\mu})$, к-рые описаны в [3]. Лит.: [1] Каррузерс П., Ньето М., в сб.: Когерентные состояния в квантовой теории, пер. с англ., М., 1972, с. 71-146; [2] Холево А. С., Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, М., 1980; [3] его же, «Lect. Notes in Math.», 1984, v. 1055, p. 153-72. А. С. Холево.

квантово-механический аналог сопряженности обобщенных координат и импульсов в гамильтоновом формализме классической механики (см. Канонические переменные). Сопряженными считаются наблюдаемые $\boldsymbol{Q}_{\boldsymbol{j}}, \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{j}}$; $j=1, \ldots, n$, подчиняющиеся каноническим коммутационным соотношениям. Проблема К. с. в квантовой механике состоит в том, что канонич. коммутационные соотношения Вейля, в силу Стоуна - Неймана теоремы единственности, определяют $Q_{j}, P_{j}$ однозначно с точностью до унитарной эквивалентности и поэтому не оставляют непосредственной возможности для описания пар канонически сопряженных величин со спектром, отличным от лебегова спектра на $\mathbb{R}$ (таких, как время - энергия, угол - угловой момент, фаза - число квантов и т. п.) (см. [1], [2]). Канонич. коммутационное соотношение Вейля для пары вещественных наблюдаемых $X, Y$ равносильно соотношению \[ e^{-i x Y} \mathscr{M}(B+x) e^{i x Y}=\mathscr{M}(\boldsymbol{B}) ; x \in \mathfrak{X}, B \in \mathscr{B}(\mathfrak{X}) \] где $\mathfrak{X}$ - вещественная прямая, $\boldsymbol{\mu}(\cdot)-$ спектральная мера наблюдаемой $X$. Возможный путь решения проблемы К. с. в квантовой механике состоит в том, что в качестве .и(.) в соотношении (1) допускаются произвольные разложения единицы. Напр., если $Y=P^{2} / 2 m$ - оператор энергии одномерной свободной частицы, то соотношению (1) удовлетворяет обобщенная спектральная мера максимального симметричного (несамосопряженного) оператора времени \[ X=\frac{m}{2}\left(P^{-1} Q+Q P^{-1}\right) . \] Более общим образом, пусть в (1) множество значений обобщенной координаты $\mathfrak{x}$ есть однопараметрич. группа Ли, то есть вещественная прямая $\mathbb{R}$ (случай линейной координаты) или окружность $\mathbb{1}$ (случай циклической координаты), а $Y$ - самосопряженный оператор, спектр к-рого лежит в дуальной группе $\hat{\boldsymbol{x}}$ (то есть в $\mathbb{R}$ или в множестве целых чисел $\mathbb{Z})$. Тогда $x \rightarrow V_{x}=\exp (i x Y)$ есть унитарное представление группы $\boldsymbol{x}$, а соотношение (1) определяет ковариантное разложение единицы $\boldsymbol{\mu}(\cdot)$ на $\boldsymbol{X}$, описывающее квантовое измерение обобщенной координаты. При таком подходе роль канонически сопряженных величин играет пара $\left(V_{(\cdot)}\right.$, М(.)), образующая обобщенную систему импримитивности. В случае $\boldsymbol{X}=\mathbb{T}$ последняя существует всегда, а в случае $\boldsymbol{X}=\mathbb{R}$ при условии, что спектр оператора $Y$ абсолютно непрерывен. Операторы $\left(V_{x}, U_{y}\right)$, где $U_{y}=\int_{\mathfrak{x}} e^{i x y} \mathscr{\mu}(d x)$, удовлетворяют канонич. коммутационному соотношению Вейля, хотя операторы $U_{y}$ не унитарны. Имеет место обобщение соотношения неопределенностей для пары $\left(V_{(\cdot)}, \mathscr{\mu}(\cdot)\right)$ : \[ \Delta_{y}(. u) D(Y) \geqslant \frac{1}{4} ; \quad y \in \hat{\boldsymbol{X}} \backslash 0, \] где $D(Y)$ - дисперсия наблюдаемой $Y$ в квантовом состоянии $\rho$, a \[ \Delta_{y}(u)=y^{-2}\left[\left|\int_{\mathfrak{X}} e^{i x y_{\mu}}(d x)\right|^{-2}-1\right], \] причем $\mu(\cdot)=\operatorname{Tr}_{\rho} \mu(\cdot)-$ распределение вероятностей обобщенной координаты. В случае $\mathfrak{X}=\mathbb{R}$ и $\boldsymbol{y} \rightarrow 0$ неравенство (2) переходит в соотношение неопределенностей Гейзенберга - Вейля. С физич. точки зрения основной интерес представляют экстремально точные измерения обобщенной координаты, минимизирующие функционал неопределенности $\Delta_{y}(\mathscr{\mu})$, к-рые описаны в [3]. Лит.: [1] Каррузерс П., Ньето М., в сб.: Когерентные состояния в квантовой теории, пер. с англ., М., 1972, с. 71-146; [2] Холево А. С., Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, М., 1980; [3] его же, «Lect. Notes in Math.», 1984, v. 1055, p. 153-72. А. С. Холево.