КАНОНИЧЕСКИЕ КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ

алгебраические соотношения, выражающие условия квантования классической механической системы. В простейшем случае системы с $n$ степенями свободы канонические коммутационные соотношения Гейзенберга $\left[Q_{j}, Q_{k}\right]=0,\left[P_{j}, P_{k}\right]=0,\left[Q_{j}, P_{k}\right]=i \hbar \delta_{j k} I ; j, k=1, \ldots, n,(1)$ где $Q_{j}-$ наблюдаемые координат, $P_{j}-$ наблюдаемые импульсов, называемые в совокупности каноническими наблюдаемыми, $I$ - единичный оператор, $[X, Y]$ - коммутатор операторов $X, Y$ в гильбертовом пространстве $H$. Соотношения (1) являются инфинитезимальной формой «глобальных» канонических коммутационных соотношений Вейля (см. [1]): \[ V_{x} U_{y}=\exp i(x, y) U_{y} V_{x} ; x \in \mathfrak{X}, y \in \hat{\boldsymbol{x}} \] Здесь $\boldsymbol{x}=\hat{\mathfrak{x}}=\mathbb{R}^{n},(x, y)=\sum_{j=1}^{n} x_{j} y_{j}$, а $x \rightarrow V_{x}, y \rightarrow U_{y}-$ непрерывные унитарные представления аддитивной группы $\mathbb{R}^{n}$ в $Н$. Доказывается, что \[ V_{x}=\exp i \sum_{j=1}^{n} x_{j} P_{j}, \quad U_{y}=\exp i \sum_{j=1}^{n} y_{j} Q_{j}, \] где $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, а $P_{j}, Q_{j}$ - самосопряженные операторы, удовлетворяющие на плотном инвариантном подпространстве соотношениям (1) (при $\hbar=1$ ). Переход от соотношений типа (1) к (2) нетривиален и возможен лишь при выполнении дополнительных условий (см. [7]). Для нерелятивистской квантовой частицы $(n=3)$ соотношения (2) имеют прямой кинематич. смысл: они выражают перестановочность (в пространстве состояний) пространственных трансляций $V_{x}$ и бустов $U_{y}$, вытекающую из принципа галилеевой относительности (см. [4]). Для более общих систем (2) вводится как формальное условие квантования; напр. $\mathfrak{X}$ может быть произвольной абелевой локально компактной группой, $\hat{\boldsymbol{x}}$ - дуальной группой, а множитель $\exp i(x, y)$ заменяется значением характера $y \in \hat{\mathfrak{X}}$ на элементе $x \in \mathfrak{X}$. В квантовой теории поля и статистич. механике рассматриваются К. к. с. (2), где $\mathfrak{X}=\hat{\mathfrak{X}}$ является нек-рым вещественным предгильбертовым пространством основных функций на пространственном или пространственно-временном континууме. Представлением канонических коммутационных соотношений называется всякая конкретная пара $(V, U)$, удовлетворяющая соотношениям (2). В случае конечного $n$, в силу Стоуна - Неймана теоремы единственности, все неприводимые представления К. к. с. унитарно эквивалентны. Выбор того или иного представления диктуется удобством вычислений в данной конкретной задаче. Наиболее употребительны: Шредингера представление, диагонализующие операторы $Q_{j}$, импульсное представление, диагонализующее операторы $P_{j}$, представление Фока - Кука, диагонализующее операторы чисел заполнения (см. Фока пространство) и представление в пространстве аналитич. функций, диагонализующее несамосопряженные операторы рождения $Q_{j}-i P_{j}$ (см. [3], [4]). Если $\boldsymbol{X}$ бесконечномерно, как в квантовой теории поля и статистич. механике, то существует континуальное множество неэквивалентных представлений К. к. с. (см. [2]). Подробно изучены продукт-представления, а также представления, отвечающие так наз. квазисвободным состояниям (см. [6], [5]). Для них найдена классификация типов и получены необходимые и достаточные условия эквивалентности. См. также Перестановочные соотношения. Лит.: [1] Вейль Г., Теория групп и квантовая механика, пер. с англ., М., 1986; [2] Сигал И., Математические проблемы релятивистской физики, пер. с англ., М., 1968; [3] Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А., Лекции по квантовой механике для студентов-математиков, Л., 1980; [4] Холево А. С., Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, М., 1980; [5] его же, «Теоретич. и математич. физика», 1972, т. 13, с. 184-99; [6] Эмх Ж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [7] Jørgensen P. E. T., Moore R. T., Operator commutation relations, Dordrecht, 1984. А. С. Холево.

алгебраические соотношения, выражающие условия квантования классической механической системы. В простейшем случае системы с $n$ степенями свободы канонические коммутационные соотношения Гейзенберга $\left[Q_{j}, Q_{k}\right]=0,\left[P_{j}, P_{k}\right]=0,\left[Q_{j}, P_{k}\right]=i \hbar \delta_{j k} I ; j, k=1, \ldots, n,(1)$ где $Q_{j}-$ наблюдаемые координат, $P_{j}-$ наблюдаемые импульсов, называемые в совокупности каноническими наблюдаемыми, $I$ - единичный оператор, $[X, Y]$ - коммутатор операторов $X, Y$ в гильбертовом пространстве $H$. Соотношения (1) являются инфинитезимальной формой «глобальных» канонических коммутационных соотношений Вейля (см. [1]): \[ V_{x} U_{y}=\exp i(x, y) U_{y} V_{x} ; x \in \mathfrak{X}, y \in \hat{\boldsymbol{x}} \] Здесь $\boldsymbol{x}=\hat{\mathfrak{x}}=\mathbb{R}^{n},(x, y)=\sum_{j=1}^{n} x_{j} y_{j}$, а $x \rightarrow V_{x}, y \rightarrow U_{y}-$ непрерывные унитарные представления аддитивной группы $\mathbb{R}^{n}$ в $Н$. Доказывается, что \[ V_{x}=\exp i \sum_{j=1}^{n} x_{j} P_{j}, \quad U_{y}=\exp i \sum_{j=1}^{n} y_{j} Q_{j}, \] где $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, а $P_{j}, Q_{j}$ - самосопряженные операторы, удовлетворяющие на плотном инвариантном подпространстве соотношениям (1) (при $\hbar=1$ ). Переход от соотношений типа (1) к (2) нетривиален и возможен лишь при выполнении дополнительных условий (см. [7]). Для нерелятивистской квантовой частицы $(n=3)$ соотношения (2) имеют прямой кинематич. смысл: они выражают перестановочность (в пространстве состояний) пространственных трансляций $V_{x}$ и бустов $U_{y}$, вытекающую из принципа галилеевой относительности (см. [4]). Для более общих систем (2) вводится как формальное условие квантования; напр. $\mathfrak{X}$ может быть произвольной абелевой локально компактной группой, $\hat{\boldsymbol{x}}$ - дуальной группой, а множитель $\exp i(x, y)$ заменяется значением характера $y \in \hat{\mathfrak{X}}$ на элементе $x \in \mathfrak{X}$. В квантовой теории поля и статистич. механике рассматриваются К. к. с. (2), где $\mathfrak{X}=\hat{\mathfrak{X}}$ является нек-рым вещественным предгильбертовым пространством основных функций на пространственном или пространственно-временном континууме. Представлением канонических коммутационных соотношений называется всякая конкретная пара $(V, U)$, удовлетворяющая соотношениям (2). В случае конечного $n$, в силу Стоуна - Неймана теоремы единственности, все неприводимые представления К. к. с. унитарно эквивалентны. Выбор того или иного представления диктуется удобством вычислений в данной конкретной задаче. Наиболее употребительны: Шредингера представление, диагонализующие операторы $Q_{j}$, импульсное представление, диагонализующее операторы $P_{j}$, представление Фока - Кука, диагонализующее операторы чисел заполнения (см. Фока пространство) и представление в пространстве аналитич. функций, диагонализующее несамосопряженные операторы рождения $Q_{j}-i P_{j}$ (см. [3], [4]). Если $\boldsymbol{X}$ бесконечномерно, как в квантовой теории поля и статистич. механике, то существует континуальное множество неэквивалентных представлений К. к. с. (см. [2]). Подробно изучены продукт-представления, а также представления, отвечающие так наз. квазисвободным состояниям (см. [6], [5]). Для них найдена классификация типов и получены необходимые и достаточные условия эквивалентности. См. также Перестановочные соотношения. Лит.: [1] Вейль Г., Теория групп и квантовая механика, пер. с англ., М., 1986; [2] Сигал И., Математические проблемы релятивистской физики, пер. с англ., М., 1968; [3] Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А., Лекции по квантовой механике для студентов-математиков, Л., 1980; [4] Холево А. С., Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, М., 1980; [5] его же, «Теоретич. и математич. физика», 1972, т. 13, с. 184-99; [6] Эмх Ж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [7] Jørgensen P. E. T., Moore R. T., Operator commutation relations, Dordrecht, 1984. А. С. Холево.