КВАНТОВАНИЕ ИЗОТРОПНЫХ ТОРОВ

процедура, сопоставляющая $k$-параметрическому семейству $k$-мерных торов $\Lambda\left(I_{1}, \ldots, I_{k-1}, E\right)$ в $2 n$-мерном фазовом пространстве $M^{2 n}=T^{*} M^{n}$ с комплексным ростком (см. Изотропное подмногообразие с комплексным ростком) (где $\left(I_{1}, \ldots, I_{k-1}\right.$, $E) \in \mathfrak{R} \subset \mathbb{R}^{k}-$ параметры) последовательности асимптотических собственных чисел $E_{v}(h)$ и функций $\psi_{v}(x, h)$ (спектральную серию) $h$-дифференциального или псевдодифференциального оператора $\hat{L}=L\left(-i h \nabla_{x}, x, h\right)$ в конфигурационном пространстве $M^{n}$, то есть таких $E_{v}$ и $\psi_{\mathrm{v}}$, что \[ \hat{L} \psi_{v}=E_{v} \psi_{v}+O\left(h^{N}\right), \operatorname{supp} \psi_{v} \rightarrow \pi_{x} \Lambda \] при $h \rightarrow 0$. Здесь $N>1, \pi_{x} \Lambda-$ естественная проекция $\Lambda$ в $M^{n}$, и предполагается, что $\left(\Lambda, r^{n}\right)$ инвариантно относительно фазового потока $g_{H}^{+}$, задаваемого гамильтонианом $H=L(p, x, 0)$ (старшей частью символа оператора $\hat{L})$. Числа $E_{v}$, а также соответствующие $E_{v}$ числа $I_{1 v}(h), \ldots, I_{k-1 v}(h)$ из $\mathfrak{R}$ определяются из условий квантования \[ \frac{1}{2 \pi h} \oint_{\gamma_{j}} \omega^{2}=Q_{j} \bmod 1, \quad j=1, \ldots, k, \] где $\gamma_{j}$ - базисные циклы на $\Lambda, \omega^{2}-2$-форма, задающая симплектич. структуру на $M^{2 n}, Q_{j}-$ нек-рые характеристики $\left(\Lambda, r^{n}\right)$. Функции $\psi_{v}$ вычисляются с помощью (комплексного) Маслова канонического оператора (см. [1], [2]). Если $k=0, \Lambda-$ устойчивая в линейном приближении точка покоя, формулы для $E_{v}, \psi_{v}$ совпадают с формулами осцилляторного приближения. Если $k=1, \Lambda$ - орбитально устойчивая в линейном приближении замкнутая траектория гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$, если $\hat{L} / h^{2} \equiv \Delta-$ оператор Бельтрами Лапласа на римановом многообразии $M^{n}$, то проекция $\Lambda$ на $M^{n}$ - устойчивая в линейном приближении замкнутая геодезическая, $\Psi_{v}$ сосредоточены в ее окрестности (см. [3], [4]). Если $k=n$ ( $k$ принимает максимальное значение), то $\Lambda-$ (полномерный) лагранжев тор и комплексный росток отсутствует, $O_{j}-$ индекс цикла Маслова $\gamma_{j}$.

процедура, сопоставляющая $k$-параметрическому семейству $k$-мерных торов $\Lambda\left(I_{1}, \ldots, I_{k-1}, E\right)$ в $2 n$-мерном фазовом пространстве $M^{2 n}=T^{*} M^{n}$ с комплексным ростком (см. Изотропное подмногообразие с комплексным ростком) (где $\left(I_{1}, \ldots, I_{k-1}\right.$, $E) \in \mathfrak{R} \subset \mathbb{R}^{k}-$ параметры) последовательности асимптотических собственных чисел $E_{v}(h)$ и функций $\psi_{v}(x, h)$ (спектральную серию) $h$-дифференциального или псевдодифференциального оператора $\hat{L}=L\left(-i h \nabla_{x}, x, h\right)$ в конфигурационном пространстве $M^{n}$, то есть таких $E_{v}$ и $\psi_{\mathrm{v}}$, что \[ \hat{L} \psi_{v}=E_{v} \psi_{v}+O\left(h^{N}\right), \operatorname{supp} \psi_{v} \rightarrow \pi_{x} \Lambda \] при $h \rightarrow 0$. Здесь $N>1, \pi_{x} \Lambda-$ естественная проекция $\Lambda$ в $M^{n}$, и предполагается, что $\left(\Lambda, r^{n}\right)$ инвариантно относительно фазового потока $g_{H}^{+}$, задаваемого гамильтонианом $H=L(p, x, 0)$ (старшей частью символа оператора $\hat{L})$. Числа $E_{v}$, а также соответствующие $E_{v}$ числа $I_{1 v}(h), \ldots, I_{k-1 v}(h)$ из $\mathfrak{R}$ определяются из условий квантования \[ \frac{1}{2 \pi h} \oint_{\gamma_{j}} \omega^{2}=Q_{j} \bmod 1, \quad j=1, \ldots, k, \] где $\gamma_{j}$ - базисные циклы на $\Lambda, \omega^{2}-2$-форма, задающая симплектич. структуру на $M^{2 n}, Q_{j}-$ нек-рые характеристики $\left(\Lambda, r^{n}\right)$. Функции $\psi_{v}$ вычисляются с помощью (комплексного) Маслова канонического оператора (см. [1], [2]). Если $k=0, \Lambda-$ устойчивая в линейном приближении точка покоя, формулы для $E_{v}, \psi_{v}$ совпадают с формулами осцилляторного приближения. Если $k=1, \Lambda$ - орбитально устойчивая в линейном приближении замкнутая траектория гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$, если $\hat{L} / h^{2} \equiv \Delta-$ оператор Бельтрами Лапласа на римановом многообразии $M^{n}$, то проекция $\Lambda$ на $M^{n}$ - устойчивая в линейном приближении замкнутая геодезическая, $\Psi_{v}$ сосредоточены в ее окрестности (см. [3], [4]). Если $k=n$ ( $k$ принимает максимальное значение), то $\Lambda-$ (полномерный) лагранжев тор и комплексный росток отсутствует, $O_{j}-$ индекс цикла Маслова $\gamma_{j}$.