КВАНТОВАЯ ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЭНТРОПИЯ ДЛЯ СОСТОЯНИЙ $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ НА АЛГЕБРЕ МАТРИЦ $\mathscr{M}=M_{n}(\mathbb{C})$

выражение \[ s\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\tau\left(\rho_{1} \log \rho_{2}-\rho_{2} \log \rho_{1}\right) \geqslant 0, \] где $\tau-$ след на . $\boldsymbol{\text { , а } \rho _ { k }}, k=1,2,-$ матрицы плотности, так что $\varphi_{k}(a)=\tau\left(\rho_{k} a\right), a \in \mathcal{H}$ и $\tau\left(\rho_{k}\right)=1$. Формула (1), пригодная для нормальных состояний на $\Perp=\Re(H), \operatorname{dim} H=\infty$, где $\tau$ - след оператора в $H$, и на любой полуконечной алгебре Неймана . $и$ введена для некоммутативного аналога величины в классич. теории информации. При $\mathscr{\Perp}=\mathfrak{B}(H)$ начато изучение взаимосвязи К.о.Э. и квантовой энтропии для приложений в теории квантовых измерений и др. В отличие от квантовой энтропии Неймана, (1) не зависит от наличия следа на थ. К. о. э. распространена на нормальные состояния общих алгебр Неймана и на положительные линейные функционалы на $C^{*}$-алгебрах. Так, если . $\boldsymbol{A}-$ алгебра Неймана в стандартной форме, $\Delta_{1,2}$ - относительный модулярный оператор для $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ и $\Phi-$ вектор-представитель $\varphi_{2}$ в естественном положительном конусе, то \[ s\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=-\left(\Phi, \log \Delta_{1,2} \Phi\right) \] когда носитель supp $\varphi_{1} \geqslant \operatorname{supp} \varphi_{2}$; иначе $s\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=+\infty$. Рассмотрены положительные функционалы на общих *-алгебрах с единицей 1. Даны разные вариационные выражения К. о. э. для положительных функционалов на $W^{*}$ или $C^{*}$-алгебрах, напр. \[ \begin{gathered} s\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\sup _{x(t)} \int_{0}^{\infty}\left[\varphi_{2}(\mathbb{1})(1+t)^{-1}-\right. \\ \left.-\varphi_{2}\left(y(t)^{*} y(t)\right)-t^{-1} \varphi_{1}\left(x(t) x(t)^{*}\right)\right] t^{-1} d t \end{gathered} \] где $x(t) \in \leadsto-$ ступенчатые функции, $y(t)=1-x(t)$. Все упомянутые конструкции К. о. э. эквивалентны. Обозначения могут отличаться и порядком аргументов $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ и знаком; предлагалось называть К. о. э. величину $-s\left(\varphi_{2}, \varphi_{1}\right)$, в том числе для удачной интерпретации статистич. выводов и вариационных результатов. Изучается К. о. э. $s_{N}\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ и как мера возможности различать состояния по измерениям величин из подалгебры или подпространства $\mathscr{R} \subset \boldsymbol{\mu}$. А. В. Булинский

выражение \[ s\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\tau\left(\rho_{1} \log \rho_{2}-\rho_{2} \log \rho_{1}\right) \geqslant 0, \] где $\tau-$ след на . $\boldsymbol{\text { , а } \rho _ { k }}, k=1,2,-$ матрицы плотности, так что $\varphi_{k}(a)=\tau\left(\rho_{k} a\right), a \in \mathcal{H}$ и $\tau\left(\rho_{k}\right)=1$. Формула (1), пригодная для нормальных состояний на $\Perp=\Re(H), \operatorname{dim} H=\infty$, где $\tau$ - след оператора в $H$, и на любой полуконечной алгебре Неймана . $и$ введена для некоммутативного аналога величины в классич. теории информации. При $\mathscr{\Perp}=\mathfrak{B}(H)$ начато изучение взаимосвязи К.о.Э. и квантовой энтропии для приложений в теории квантовых измерений и др. В отличие от квантовой энтропии Неймана, (1) не зависит от наличия следа на थ. К. о. э. распространена на нормальные состояния общих алгебр Неймана и на положительные линейные функционалы на $C^{*}$-алгебрах. Так, если . $\boldsymbol{A}-$ алгебра Неймана в стандартной форме, $\Delta_{1,2}$ - относительный модулярный оператор для $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ и $\Phi-$ вектор-представитель $\varphi_{2}$ в естественном положительном конусе, то \[ s\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=-\left(\Phi, \log \Delta_{1,2} \Phi\right) \] когда носитель supp $\varphi_{1} \geqslant \operatorname{supp} \varphi_{2}$; иначе $s\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=+\infty$. Рассмотрены положительные функционалы на общих *-алгебрах с единицей 1. Даны разные вариационные выражения К. о. э. для положительных функционалов на $W^{*}$ или $C^{*}$-алгебрах, напр. \[ \begin{gathered} s\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\sup _{x(t)} \int_{0}^{\infty}\left[\varphi_{2}(\mathbb{1})(1+t)^{-1}-\right. \\ \left.-\varphi_{2}\left(y(t)^{*} y(t)\right)-t^{-1} \varphi_{1}\left(x(t) x(t)^{*}\right)\right] t^{-1} d t \end{gathered} \] где $x(t) \in \leadsto-$ ступенчатые функции, $y(t)=1-x(t)$. Все упомянутые конструкции К. о. э. эквивалентны. Обозначения могут отличаться и порядком аргументов $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ и знаком; предлагалось называть К. о. э. величину $-s\left(\varphi_{2}, \varphi_{1}\right)$, в том числе для удачной интерпретации статистич. выводов и вариационных результатов. Изучается К. о. э. $s_{N}\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ и как мера возможности различать состояния по измерениям величин из подалгебры или подпространства $\mathscr{R} \subset \boldsymbol{\mu}$. А. В. Булинский