АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

представление функции $f(x)$ в виде ряда \[ f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \Phi_{k}(x) \] где $a_{k}$ - постоянные, $\left\{\Phi_{k}(x)\right\}-$ асимптотическая при $x \rightarrow x_{0}$ последовательность (то есть $\Phi_{k+1}(x)=o\left(\Phi_{k}(x)\right), k=0,1,2, \ldots$, $\left.x \rightarrow x_{0}\right)$, причем при любом целом $N \geqslant 0$ \[ f(x)=\sum_{k=1}^{N} a_{k} \Phi_{k}(x)=o\left(\Phi_{N}(x)\right), \quad x \rightarrow x_{0} . \] Ряд (1) называется асимптотическим разложением функции $f(x)$ по асимптотич. последовательности $\left\{\Phi_{k}(x)\right\}$ в смысле Пуанкаре. В квантовой теории поля А. р. (1) применяется в различных ситуациях. Как правило, об А. р. говорят в тех случаях, когда не интересуются точными оценками на остаточный член ряда, либо когда известно, что для любого $x \neq x_{0}$ асимптотич. ряд (1) не сходится к значению $f(x)$. Именно вторая из перечисленных ситуаций оказывается типичной для степенных рядов теории возмущений по константе взаимодействия, для коэффициентов к-рых характерен факториальный рост при $n \rightarrow \infty$. Напр., функция \[ I(g, m)=m(2 \pi)^{-1 / 2} \int_{-\infty}^{+\infty} d z \exp \left(-m^{2} z^{2} / 2-g z^{4} / 4 !\right) \] к-рая может рассматриваться как функциональный интеграл евклидовой $\Phi^{4}$-теории поля при нулевой пространственно-временной размерности, обладает при $g \rightarrow 0$ А. р. \[ \begin{gathered} I(g, m) \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} g^{n} \\ a_{n}=\pi^{-1 / 2}\left(-1 / 6 m^{4}\right)^{n} \Gamma(2 n+1 / 2) / \Gamma(n+1)= \\ =\left(-2 / 3 e m^{4}\right)^{n} n^{n}(\pi n)^{-1 / 2}(1+O(1 / n)) \end{gathered} \] при $n \rightarrow \infty$. Несмотря на расходимость рядов, их частичные суммы вплоть до нек-рого порядка обеспечивают достаточно точное приближение, что и объясняет применимость метода теории возмущений для многих физически осмысленных моделей. Разработаны различные методы суммирования расходящихся асимптотич. рядов (суммирование по Борелю, по Зоммерфельду - Ватсону и т. д.). Однако применимость этих методов в квантовой теории поля в значительной степени зависит от того, насколько точно угадан тип неаналитич. зависимости функции, к-рую нужно восстановить по ее А. р. Поэтому результат суммирования, вообще говоря, зависит от применяемого метода суммирования. Другим примером А. р. в квантовой теории поля являются различного рода операторные разложения в режимах больших импульсов (малых расстояний) и (или) больших масс. Исторически первое из них - разложение произведения двух составных операторов (см. Перенормировка в квантовой теории поля) на малых расстояниях - предложено К. Вильсоном (K. Wilson) в конце 60-х гг. Оно имеет вид \[ J_{1}\left(x+\xi_{1}\right) J_{2}\left(x+\xi_{2}\right)=\sum_{n} C_{n}\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) O_{n}(x) . \] Здесь $C_{n}-$ коэффициентные функции, а $\left\{O_{n}\right\}-$ нек-рый базис составных операторов. Разложение является асимптотическим при стремлении аргументов исходных составных операторов $J_{i}$ друг к другу, то есть при $\xi_{i} \rightarrow \rho \xi_{i}$ и $\rho \rightarrow 0$. Разложение на малых расстояниях успешно применяется в физике высоких энергий, напр. в анализе глубоконеупругого рассеяния лептонов на адронах. С начала 70-х гг. стали эффективно использоваться и операторные разложения в других режимах в рамках метода правил сумм квантовой хромодинамики - современной теории сильных взаимодействий. Напр., в пределе, когда нек-рые массы существенно больше остальных масс и всех импульсов, А. р. матрицы рассеяния, составных операторов и их произведений описываются переходом к эффективной низкоэнергетич. теории, включающей лишь поля с малыми массами. В низшем порядке разложения при больших массах вклад «тяжелых» полей (то есть соответствующих частицам с большими массами) учитывается переопределением параметров эффективной теории. Лит.: [1] Kazakov D. I., Shirkov D. V., «Fortschr. Phys.», 1980, Bd 28, S. 465; [2] Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., 1979; [3] Смирнов В.А., Перенормировка и асимптотические разложения фейнмановских амплитуд, М., 1990. В. А. Смирнов.

представление функции $f(x)$ в виде ряда \[ f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \Phi_{k}(x) \] где $a_{k}$ - постоянные, $\left\{\Phi_{k}(x)\right\}-$ асимптотическая при $x \rightarrow x_{0}$ последовательность (то есть $\Phi_{k+1}(x)=o\left(\Phi_{k}(x)\right), k=0,1,2, \ldots$, $\left.x \rightarrow x_{0}\right)$, причем при любом целом $N \geqslant 0$ \[ f(x)=\sum_{k=1}^{N} a_{k} \Phi_{k}(x)=o\left(\Phi_{N}(x)\right), \quad x \rightarrow x_{0} . \] Ряд (1) называется асимптотическим разложением функции $f(x)$ по асимптотич. последовательности $\left\{\Phi_{k}(x)\right\}$ в смысле Пуанкаре. В квантовой теории поля А. р. (1) применяется в различных ситуациях. Как правило, об А. р. говорят в тех случаях, когда не интересуются точными оценками на остаточный член ряда, либо когда известно, что для любого $x \neq x_{0}$ асимптотич. ряд (1) не сходится к значению $f(x)$. Именно вторая из перечисленных ситуаций оказывается типичной для степенных рядов теории возмущений по константе взаимодействия, для коэффициентов к-рых характерен факториальный рост при $n \rightarrow \infty$. Напр., функция \[ I(g, m)=m(2 \pi)^{-1 / 2} \int_{-\infty}^{+\infty} d z \exp \left(-m^{2} z^{2} / 2-g z^{4} / 4 !\right) \] к-рая может рассматриваться как функциональный интеграл евклидовой $\Phi^{4}$-теории поля при нулевой пространственно-временной размерности, обладает при $g \rightarrow 0$ А. р. \[ \begin{gathered} I(g, m) \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} g^{n} \\ a_{n}=\pi^{-1 / 2}\left(-1 / 6 m^{4}\right)^{n} \Gamma(2 n+1 / 2) / \Gamma(n+1)= \\ =\left(-2 / 3 e m^{4}\right)^{n} n^{n}(\pi n)^{-1 / 2}(1+O(1 / n)) \end{gathered} \] при $n \rightarrow \infty$. Несмотря на расходимость рядов, их частичные суммы вплоть до нек-рого порядка обеспечивают достаточно точное приближение, что и объясняет применимость метода теории возмущений для многих физически осмысленных моделей. Разработаны различные методы суммирования расходящихся асимптотич. рядов (суммирование по Борелю, по Зоммерфельду - Ватсону и т. д.). Однако применимость этих методов в квантовой теории поля в значительной степени зависит от того, насколько точно угадан тип неаналитич. зависимости функции, к-рую нужно восстановить по ее А. р. Поэтому результат суммирования, вообще говоря, зависит от применяемого метода суммирования. Другим примером А. р. в квантовой теории поля являются различного рода операторные разложения в режимах больших импульсов (малых расстояний) и (или) больших масс. Исторически первое из них - разложение произведения двух составных операторов (см. Перенормировка в квантовой теории поля) на малых расстояниях - предложено К. Вильсоном (K. Wilson) в конце 60-х гг. Оно имеет вид \[ J_{1}\left(x+\xi_{1}\right) J_{2}\left(x+\xi_{2}\right)=\sum_{n} C_{n}\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) O_{n}(x) . \] Здесь $C_{n}-$ коэффициентные функции, а $\left\{O_{n}\right\}-$ нек-рый базис составных операторов. Разложение является асимптотическим при стремлении аргументов исходных составных операторов $J_{i}$ друг к другу, то есть при $\xi_{i} \rightarrow \rho \xi_{i}$ и $\rho \rightarrow 0$. Разложение на малых расстояниях успешно применяется в физике высоких энергий, напр. в анализе глубоконеупругого рассеяния лептонов на адронах. С начала 70-х гг. стали эффективно использоваться и операторные разложения в других режимах в рамках метода правил сумм квантовой хромодинамики - современной теории сильных взаимодействий. Напр., в пределе, когда нек-рые массы существенно больше остальных масс и всех импульсов, А. р. матрицы рассеяния, составных операторов и их произведений описываются переходом к эффективной низкоэнергетич. теории, включающей лишь поля с малыми массами. В низшем порядке разложения при больших массах вклад «тяжелых» полей (то есть соответствующих частицам с большими массами) учитывается переопределением параметров эффективной теории. Лит.: [1] Kazakov D. I., Shirkov D. V., «Fortschr. Phys.», 1980, Bd 28, S. 465; [2] Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., 1979; [3] Смирнов В.А., Перенормировка и асимптотические разложения фейнмановских амплитуд, М., 1990. В. А. Смирнов.