КЕЛЬВИНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

преобразование функций, определенных в областях евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}$, $n \geqslant 3$, при котором гармонические функции переходят в гармонические. Получено У. Томсоном (W. Thomson, 1847) (лордом Кельвином). Если $u(x)$ - гармонич. функция в области $D \subset \mathbb{R}^{n}$, то ее К. П. есть функция \[ v(y)=\left(\frac{R}{|y|}\right)^{n-2} u\left(\frac{R^{2}}{|y|^{2}}, y\right), \quad v(\infty)=0, \] гармоническая в области $D^{*}$, получающейся из $D$ инверсией относительно сферы $S_{R}=\{x:|x|=R\}$, то есть отображением пространства $\mathbb{R}^{n}$, определяемым формулами \[ x \rightarrow y=\frac{R^{2}}{|x|^{2}} x, \quad 0 \rightarrow \infty \] где $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \quad|x|=\left(x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)^{1 / 2}$. При К. П. гармонич. функции $u(x)$ в областях $D$, содержащих $\infty$, регулярные в $\infty$, то есть такие, что \[ \lim _{|x| \rightarrow \infty} u(x)=0 \] переходят в гармонич. функции $v(y)$ в ограниченных областях $D^{*}$, содержащих начало координат $O$, причем $v(0)=0$. Благодаря этому свойству, К. п. позволяет сводить внешние краевые задачи теории потенциала к внутренним, и наоборот. Кроме К. П., гармоничность функций в $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 3$, сохраняется при аналитич. преобразованиях вида $v(y)=$ $=\varphi(y) u(\psi(y))$ только в случае, когда $\varphi(y) \equiv 1$ и $\psi$ есть отображение подобия, движение или симметрия относительно плоскости; при $n=2$ этим свойством обладает широкий класс конформных отображений $\psi$. $\quad$. Д. Соломенцев.

преобразование функций, определенных в областях евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}$, $n \geqslant 3$, при котором гармонические функции переходят в гармонические. Получено У. Томсоном (W. Thomson, 1847) (лордом Кельвином). Если $u(x)$ - гармонич. функция в области $D \subset \mathbb{R}^{n}$, то ее К. П. есть функция \[ v(y)=\left(\frac{R}{|y|}\right)^{n-2} u\left(\frac{R^{2}}{|y|^{2}}, y\right), \quad v(\infty)=0, \] гармоническая в области $D^{*}$, получающейся из $D$ инверсией относительно сферы $S_{R}=\{x:|x|=R\}$, то есть отображением пространства $\mathbb{R}^{n}$, определяемым формулами \[ x \rightarrow y=\frac{R^{2}}{|x|^{2}} x, \quad 0 \rightarrow \infty \] где $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \quad|x|=\left(x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)^{1 / 2}$. При К. П. гармонич. функции $u(x)$ в областях $D$, содержащих $\infty$, регулярные в $\infty$, то есть такие, что \[ \lim _{|x| \rightarrow \infty} u(x)=0 \] переходят в гармонич. функции $v(y)$ в ограниченных областях $D^{*}$, содержащих начало координат $O$, причем $v(0)=0$. Благодаря этому свойству, К. п. позволяет сводить внешние краевые задачи теории потенциала к внутренним, и наоборот. Кроме К. П., гармоничность функций в $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 3$, сохраняется при аналитич. преобразованиях вида $v(y)=$ $=\varphi(y) u(\psi(y))$ только в случае, когда $\varphi(y) \equiv 1$ и $\psi$ есть отображение подобия, движение или симметрия относительно плоскости; при $n=2$ этим свойством обладает широкий класс конформных отображений $\psi$. $\quad$. Д. Соломенцев.