КИЛЛИНГА ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ

обобщение понятия поля скоростей движения в евклидовом пространстве на римановы пространства. Пусть гладкое относительно нек-рого параметра $t$ (времени) семейство $f_{t}: M \rightarrow M$ локальных изометрий риманова многообразия $M$ с метрич. тензором $g_{i j}$ представлено в локальных координатах $x^{i}$ в виде: \[ f_{t}: x \rightarrow x+\operatorname{th}(x)+o(t), t \rightarrow 0, \] тогда оно в момент $t=0$ порождает векторное поле \[ \xi=\frac{d}{d t}\left(f_{t}\right)=h^{i}(x) \frac{\partial}{\partial x^{i}}, \] удовлетворяющее равенству \[ g_{i p} \frac{\partial h^{p}}{\partial x^{i}}+g_{p i} \frac{\partial h^{p}}{\partial x^{i}}+\frac{\partial q_{i j}}{\partial x^{p}} h^{p}=0, \] означающему, что так наз. производная Ли $L_{\xi} g$ тензора $g_{i j}$ по векторному полю $\xi$ равна нулю. Обратно, если на $M$ задано нек-рое векторное поле $\xi$ с условием $L_{\xi} g=0$, то оно называется векторным полем Киллинга и его интегральные траектории порождают локальную (а в случае полного $\boldsymbol{M}$ - глобальную) однопараметрич. группу изометрий $x \rightarrow x(t)$ в $M$, для к-рых скорость $\dot{x}(t)=\xi(x(t))$. Напр., в случае трехмерного евклидова пространства со стандартной метрикой $g_{i j}=\delta_{i j}$ К. в. П. имеет координаты \[ h^{i}(x)=\left\{a^{i}+a_{j}^{i} x^{j}\right\} \] с $a_{i}^{j}=-a_{j}^{i}$, а соответствующая однопараметрич. группа изометрий (движений) определяется переносом на вектор at, $a=\left\{a^{i}\right\}$, и вращением вокруг оси с единичным направлением \[ \frac{1}{\lambda}\left(-a_{3}^{2}, a_{3}^{1},-a_{2}^{1}\right) \] на угол $\lambda(t)$ См. также Метрика пространства-времени, Риманова геометрия. Лит.: [1] Killing W., «J. reine und angew. Math.», 1892, Bd 109, S. 121-86; [2] Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, т. 1, пер. с англ., М., 1981; [3] Алексеевский Д. В., в кн.: Математическая энциклопедия, т. 2, М., 1979, $\begin{array}{ll}\text { с. } 856 . & \text { И.Х. Сабитов. } \\ & \end{array}$

обобщение понятия поля скоростей движения в евклидовом пространстве на римановы пространства. Пусть гладкое относительно нек-рого параметра $t$ (времени) семейство $f_{t}: M \rightarrow M$ локальных изометрий риманова многообразия $M$ с метрич. тензором $g_{i j}$ представлено в локальных координатах $x^{i}$ в виде: \[ f_{t}: x \rightarrow x+\operatorname{th}(x)+o(t), t \rightarrow 0, \] тогда оно в момент $t=0$ порождает векторное поле \[ \xi=\frac{d}{d t}\left(f_{t}\right)=h^{i}(x) \frac{\partial}{\partial x^{i}}, \] удовлетворяющее равенству \[ g_{i p} \frac{\partial h^{p}}{\partial x^{i}}+g_{p i} \frac{\partial h^{p}}{\partial x^{i}}+\frac{\partial q_{i j}}{\partial x^{p}} h^{p}=0, \] означающему, что так наз. производная Ли $L_{\xi} g$ тензора $g_{i j}$ по векторному полю $\xi$ равна нулю. Обратно, если на $M$ задано нек-рое векторное поле $\xi$ с условием $L_{\xi} g=0$, то оно называется векторным полем Киллинга и его интегральные траектории порождают локальную (а в случае полного $\boldsymbol{M}$ - глобальную) однопараметрич. группу изометрий $x \rightarrow x(t)$ в $M$, для к-рых скорость $\dot{x}(t)=\xi(x(t))$. Напр., в случае трехмерного евклидова пространства со стандартной метрикой $g_{i j}=\delta_{i j}$ К. в. П. имеет координаты \[ h^{i}(x)=\left\{a^{i}+a_{j}^{i} x^{j}\right\} \] с $a_{i}^{j}=-a_{j}^{i}$, а соответствующая однопараметрич. группа изометрий (движений) определяется переносом на вектор at, $a=\left\{a^{i}\right\}$, и вращением вокруг оси с единичным направлением \[ \frac{1}{\lambda}\left(-a_{3}^{2}, a_{3}^{1},-a_{2}^{1}\right) \] на угол $\lambda(t)$ См. также Метрика пространства-времени, Риманова геометрия. Лит.: [1] Killing W., «J. reine und angew. Math.», 1892, Bd 109, S. 121-86; [2] Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, т. 1, пер. с англ., М., 1981; [3] Алексеевский Д. В., в кн.: Математическая энциклопедия, т. 2, М., 1979, $\begin{array}{ll}\text { с. } 856 . & \text { И.Х. Сабитов. } \\ & \end{array}$