КИРХГОФА ФОРМУЛА

формула, выражающая регулярное решение $u(\boldsymbol{x}, t)$ неоднородного волнового уравнения в трехмерном пространстве \[ \Delta u-c^{-2} u_{t t}=f(x, t) \] через начальные данные задачи Коши $u(x, 0)=\varphi(x)$, $u_{t}(\boldsymbol{x}, 0)=\rho(\boldsymbol{x})$ и объемный запаздывающий потенциал $v(\boldsymbol{x}, t)$ с плотностью $f(\boldsymbol{y}, t)$: \[ \begin{gathered} u(x, t)=v(\boldsymbol{x}, t)+\left(4 \pi c^{2} t\right)^{-1} \int_{S} \rho(y) d S_{y}+ \\ +\left(4 \pi c^{2}\right)^{-1}(\partial / \partial t) t^{-1} \int_{S} \varphi(\boldsymbol{y}) d S_{y}, \end{gathered} \] где $\rho(x), \varphi(x)-$ соответственно дважды и трижды непрерывно дифференцируемые функции, $S$ - сфера радиуса \[ c t=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|=\left[\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\left(x_{3}-y_{3}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \] с центром в точке $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \boldsymbol{y}=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)$, \[ v(\boldsymbol{x}, t)=-\int_{r \leqslant c t}(4 \pi r)^{-1} f(\boldsymbol{y}, t-r / c) d y, \] $r=|x-y|$, а $f(x, t)$ - дважды дифференцируемая функция. При $f(\boldsymbol{x}, t)=0$ функция $u(\boldsymbol{x}, t)$ определяется значениями $\varphi(\boldsymbol{x}), \partial \varphi / \partial \boldsymbol{n}, \rho(\boldsymbol{x})$, взятыми на сфере $S$, где $\boldsymbol{n}$ - внешняя нормаль к $S$. Это свойство решений волнового уравнения (1) называется принципом Гюйгенса-Френеля. Из К. ф. можно получить Пуассона формулу и Д'Аламбера формулу, дающие решение задачи Коши в двумерном и одномерном пространстве. К. ф. (2) обобщена на случай произвольных целых размерностей пространства. К. ф. называют также и интеграл Кирхгофа: \[ \begin{gathered} u(x, t)=-\int_{\Omega}(4 \pi r)^{-1} f(\boldsymbol{y}, t-r / c) d \Omega_{y}+ \\ +\int_{\sigma}\left[r^{-1} \partial u / \partial n-u \partial r^{-1} / \partial n+(r c)^{-1}(\partial u / \partial \tau) \partial r / \partial n\right] d \sigma / 4 \pi, \\ \tau=t-r / c \end{gathered} \] выражающий решение волнового уравнения (1) через запаздывающий объемный потенциал и через значения функции $u(y, t)$ и ее производных на границе $\sigma$ области $\Omega$ в момент времени $\tau=t-r / c$, где $\Omega-$ ограниченная область трехмерного пространства, $\boldsymbol{n}-$ внешняя нормаль к $\sigma$; $\boldsymbol{r}=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|-$ расстояние между точками $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$. К. ф. получена впервые Г. Кирхгофом (G. Kirchhoff, 1882).

формула, выражающая регулярное решение $u(\boldsymbol{x}, t)$ неоднородного волнового уравнения в трехмерном пространстве \[ \Delta u-c^{-2} u_{t t}=f(x, t) \] через начальные данные задачи Коши $u(x, 0)=\varphi(x)$, $u_{t}(\boldsymbol{x}, 0)=\rho(\boldsymbol{x})$ и объемный запаздывающий потенциал $v(\boldsymbol{x}, t)$ с плотностью $f(\boldsymbol{y}, t)$: \[ \begin{gathered} u(x, t)=v(\boldsymbol{x}, t)+\left(4 \pi c^{2} t\right)^{-1} \int_{S} \rho(y) d S_{y}+ \\ +\left(4 \pi c^{2}\right)^{-1}(\partial / \partial t) t^{-1} \int_{S} \varphi(\boldsymbol{y}) d S_{y}, \end{gathered} \] где $\rho(x), \varphi(x)-$ соответственно дважды и трижды непрерывно дифференцируемые функции, $S$ - сфера радиуса \[ c t=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|=\left[\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\left(x_{3}-y_{3}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \] с центром в точке $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \boldsymbol{y}=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)$, \[ v(\boldsymbol{x}, t)=-\int_{r \leqslant c t}(4 \pi r)^{-1} f(\boldsymbol{y}, t-r / c) d y, \] $r=|x-y|$, а $f(x, t)$ - дважды дифференцируемая функция. При $f(\boldsymbol{x}, t)=0$ функция $u(\boldsymbol{x}, t)$ определяется значениями $\varphi(\boldsymbol{x}), \partial \varphi / \partial \boldsymbol{n}, \rho(\boldsymbol{x})$, взятыми на сфере $S$, где $\boldsymbol{n}$ - внешняя нормаль к $S$. Это свойство решений волнового уравнения (1) называется принципом Гюйгенса-Френеля. Из К. ф. можно получить Пуассона формулу и Д'Аламбера формулу, дающие решение задачи Коши в двумерном и одномерном пространстве. К. ф. (2) обобщена на случай произвольных целых размерностей пространства. К. ф. называют также и интеграл Кирхгофа: \[ \begin{gathered} u(x, t)=-\int_{\Omega}(4 \pi r)^{-1} f(\boldsymbol{y}, t-r / c) d \Omega_{y}+ \\ +\int_{\sigma}\left[r^{-1} \partial u / \partial n-u \partial r^{-1} / \partial n+(r c)^{-1}(\partial u / \partial \tau) \partial r / \partial n\right] d \sigma / 4 \pi, \\ \tau=t-r / c \end{gathered} \] выражающий решение волнового уравнения (1) через запаздывающий объемный потенциал и через значения функции $u(y, t)$ и ее производных на границе $\sigma$ области $\Omega$ в момент времени $\tau=t-r / c$, где $\Omega-$ ограниченная область трехмерного пространства, $\boldsymbol{n}-$ внешняя нормаль к $\sigma$; $\boldsymbol{r}=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|-$ расстояние между точками $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$. К. ф. получена впервые Г. Кирхгофом (G. Kirchhoff, 1882).