КОВАРИАНТНОСТЬ И КОНТРАВАРИАНТНОСТЬ

понятия линейной алгебры и тензорного анализа, характеризующие способы преобразования компонент тензора при преобразованиях координат \[ x^{i} \rightarrow y^{i}\left(x^{j}\right) \] Ковариантные компоненты преобразуются как градиент: \[ \partial f / \partial x^{i}=\left(\frac{\partial f}{\partial y^{j}}\right)\left(\frac{\partial y^{j}}{\partial x^{i}}\right) \] а контравариантные - как дифференциал: \[ \partial y^{i}=\left(\frac{\partial y^{i}}{\partial x^{j}}\right) \partial x^{j} \] (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Происхождение терминов связано с тем, что при линейных преобразованиях базиса $\left\{e_{i}\right\}$ в евклидовом (и псевдоевклидовом) пространстве: \[ \boldsymbol{e}_{i} \rightarrow \tilde{\boldsymbol{e}}_{i}=a_{i}^{j} \boldsymbol{e}_{j} \] ковариантные компоненты преобразуются одинаково с базисом, а контравариантные - с помощью матрицы $b$, обратной к транспонированной матрице $a^{\top}$: \[ b_{j}^{i} a_{k}^{j}=\delta_{k}^{i} \] Напр., для ковариантного вектора (нижние индексы) $T_{i}=a_{i}^{j} T_{j}$, а для контравариантного (верхние индексы) $\tilde{T}^{i}=b_{j}^{i} T^{j}$. Переход от ковариантных к контравариантным компонентам совершается с помощью метрич. тензора; напр. $T^{i}=g^{i j} T_{j}$. Ко- и контравариантные компоненты совпадают лишь для декартова базиса в евклидовом пространстве. С. В. Молодцов.

понятия линейной алгебры и тензорного анализа, характеризующие способы преобразования компонент тензора при преобразованиях координат \[ x^{i} \rightarrow y^{i}\left(x^{j}\right) \] Ковариантные компоненты преобразуются как градиент: \[ \partial f / \partial x^{i}=\left(\frac{\partial f}{\partial y^{j}}\right)\left(\frac{\partial y^{j}}{\partial x^{i}}\right) \] а контравариантные - как дифференциал: \[ \partial y^{i}=\left(\frac{\partial y^{i}}{\partial x^{j}}\right) \partial x^{j} \] (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Происхождение терминов связано с тем, что при линейных преобразованиях базиса $\left\{e_{i}\right\}$ в евклидовом (и псевдоевклидовом) пространстве: \[ \boldsymbol{e}_{i} \rightarrow \tilde{\boldsymbol{e}}_{i}=a_{i}^{j} \boldsymbol{e}_{j} \] ковариантные компоненты преобразуются одинаково с базисом, а контравариантные - с помощью матрицы $b$, обратной к транспонированной матрице $a^{\top}$: \[ b_{j}^{i} a_{k}^{j}=\delta_{k}^{i} \] Напр., для ковариантного вектора (нижние индексы) $T_{i}=a_{i}^{j} T_{j}$, а для контравариантного (верхние индексы) $\tilde{T}^{i}=b_{j}^{i} T^{j}$. Переход от ковариантных к контравариантным компонентам совершается с помощью метрич. тензора; напр. $T^{i}=g^{i j} T_{j}$. Ко- и контравариантные компоненты совпадают лишь для декартова базиса в евклидовом пространстве. С. В. Молодцов.