КОГЕРЕНТНОЕ СОСТОЯНИЕ КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

состояние, максимально близкое к состоянию классического осциллятора в том смысле, что произведение неопределенностей (дисперсий) координаты и импульса в этом состоянии принимает минимально возможное в рамках соотношения неопределенностей значение. Термин введен Р. Глаубером [1]. С аналогичным свойством волновые пакеты строились в начале развития квантовой механики Э. Шредингером [2]. В К. с. гармонич. осциллятора волновой пакет не расплывается, а его центр движется по классич. траектории. Дисперсии координаты и импульса одномерного квантового гармонич. осциллятора в К. с. (с вектором состояния $|\alpha\rangle)$ равны соответственно $\Delta x=l / \sqrt{2}$ и $\Delta p=\hbar / l \sqrt{2}$, где $l$ амплитуда нулевых колебаний, так что $\Delta p \Delta x=\hbar / 2$. При этом изменение во времени средних значений координаты и импульса соответствует классич. траекториям, а $\Delta x$ и $\Delta p$ остаются постоянными, то есть эволюционируя, К. с. остается когерентным. K. с. $|\alpha\rangle$ осциллятора массы $m$ и частоты $\omega$ описывается нормированной волновой функцией, имеющей в координатном представлении вид гауссова волнового пакета: \[ \Psi_{\alpha}(x)=\pi^{-1 / 4} l^{-1 / 2} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2 l^{2}}-\frac{|\alpha|^{2}}{2}+\frac{\sqrt{2} \alpha x}{l}-\frac{\alpha^{2}}{2}\right) . \] Здесь $l=(\hbar / m \omega)^{1 / 2}, \alpha-$ любое комплексное число, действительная часть к-рого связана со средним значением оператора координаты $(\hat{x})$ в состоянии $|\alpha\rangle$ : \[ \operatorname{Re} \alpha=\langle\alpha|\hat{x}| \alpha\rangle / \sqrt{2} l \text {, } \] а мнимая - со средним значением оператора импульса $(\hat{p})$ : \[ \operatorname{Im} \alpha=l\langle\alpha|\hat{p}| \alpha\rangle / \sqrt{2} \hbar \] Таким образом, положение центра $x_{c}$ гауссова пакета в К. с. определяется числом $\alpha$ : \[ x_{c}=\sqrt{2} l \operatorname{Re} \alpha \] В импульсном представлении волновая функция К. с. также имеет вид гауссова пакета: \[ \Psi_{\alpha}(p)=\pi^{-1 / 4}\left(\frac{l}{\hbar}\right)^{1 / 2} \exp \left(-\frac{p^{2 / 2}}{2 \hbar^{2}}-\frac{|\alpha|^{2}}{2}+\frac{\sqrt{2} \alpha p l}{\hbar}-\frac{\alpha^{2}}{2}\right) . \] Вместо операторов $\hat{x}$ и $\hat{p}$ удобно ввести операторы уничтожения $\hat{a}$ и рождения $\hat{a}^{+}$: \[ \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\hat{x}}{l}+\frac{i \hat{p} l}{\hbar}\right), \quad \hat{a}^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\hat{x}}{l}-\frac{i \hat{p} l}{\hbar}\right) . \] Название операторов связано с тем, что действие $\hat{a}^{+}$на состояние $|n\rangle$ гармонич. осциллятора с заданной энергией $\mathscr{E}_{n}=\omega(n+1 / 2), n=0,1,2, \ldots$, переводит осциллятор в возбужденное состояние $|n+1\rangle$, увеличивая его энергию на квант энергии $\hbar \omega$, а действие $\hat{a}$ на $|n\rangle$ уменьшает его энергию на этот же квант. К. с. $|\alpha\rangle$ является собственным состоянием оператора уничтожения: \[ \hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle \] Оно получается действием унитарного оператора $\hat{D}(\alpha)=$ $=\exp \left(\alpha a^{+}-a^{*} \hat{a}\right)$ на вектор основного (вакуумного) состояния $|0\rangle,|\alpha\rangle=\hat{D}(\alpha)|0\rangle, \hat{a}|0\rangle=0$ (звездочкой помечено комплексное сопряжение). $\hat{D}(\alpha)$ называется оператором сдвига, так как он смещает центр волнового пакета на величину $\sqrt{2} \mathrm{al}$. Скалярное произведение двух векторов К. с. (или матричный элемент единичного оператора в представлении К. с.) имеет вид: \[ \langle\alpha \mid \beta\rangle=\exp \left(-\frac{|\alpha|^{2}}{2}-\frac{|\beta|^{2}}{2}+\alpha^{*} \beta\right) \] и не равно нулю при $\alpha \neq \beta$, то есть К. с. неортогональны. Однако квадрат модуля скалярного произведения \[ |\langle\alpha \mid \beta\rangle|^{2}=\exp \left(-|\alpha-\beta|^{2}\right) \] очень быстро стремится к нулю при $|\alpha-\beta| \gg 1$, что физически отвечает уменьшению перекрытия двух волновых пакетов, центры к-рых раздвигаются (поскольку $\alpha$ и $\beta$ определяют центры этих пакетов). По состояниям $|n\rangle$ с заданной энергией К. с. разлагается в ряд: \[ |\alpha\rangle=\exp \left(-\frac{|\alpha|^{2}}{2}\right) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n !}}|n\rangle . \] Это означает, что $\exp \left(|\alpha|^{2} / 2\right)|a\rangle$ является производящей функцией для состояний $|n\rangle$. Среднее значение энергии осциллятора в К. с. $|a\rangle$ определяется формулой \[ \mathscr{E}_{\alpha}=\hbar \omega\left(|\alpha|^{2}+1 / 2\right) \] а распределение по уровням энергии является распределением Пуассона: \[ \mathscr{P}_{\alpha}(n)=\exp \left(-|\alpha|^{2}\right) \frac{|\alpha|^{2 n}}{n !} \] При этом эволюция К. с. задается формулой \[ |a\rangle \rightarrow e^{-i \omega t / 2}\left|\alpha e^{-i \omega t}\right\rangle \] K. с. $|a\rangle$ образуют полную, точнее переполненную, систему векторов состояний; разложение единичного оператора $\hat{I}$ имеет вид: \[ \hat{I}=\pi^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} d(\operatorname{Re} \alpha) d(\operatorname{Im} \alpha)|\alpha\rangle\langle\alpha| . \] Произвольный вектор состояния $|\Psi\rangle$ может быть разложен по К. с.: \[ |\Psi\rangle=\pi^{-1} \int_{-\infty}^{\infty}|\alpha\rangle\langle\alpha \mid \Psi\rangle d(\operatorname{Re} \alpha) d(\operatorname{Im} \alpha) . \] В квантовой теории поля система частиц с целым спином - бозонов (фотонов, $\pi$-мезонов и т. д.) - описывается как бесконечный набор квантовых гармонич. осцилляторов. Возбужденному состоянию осциллятора $|n\rangle$ отвечает при этом совокупность $n$ бозонов с энергией $\hbar \omega$. В этом случае оператор уничтожения $\hat{a}$ уменьшает, а оператор рождения $\hat{a}^{+}$увеличивает число частиц в системе на единицу. К. с. квантованного электромагнитного поля (и других бозе-полей) вводятся на основе представления гамильтониана поля в виде суммы гамильтонианов гармонич. осцилляторов, отвечающих различным модам колебаний поля. Для моды определенной частоты и поляризации электромагнитного поля К. с. описывается приведенными выше формулами, при этом в К. с. число фотонов неопределенно, а распределение по числу фотонов является распределением Пуассона. Если все осцилляторы поля находятся в К. с., то состояние квантового поля наиболее близко к классическому. Важность К. с. в физике обусловлена тем, что во многих случаях физич. квантованные поля находятся именно в таких состояниях. Напр., классич. ток, создаваемый движущимися электрич. зарядами, излучает фотоны, находящиеся в К. с. Инфракрасная расходимость в квантовой электродинамике объясняется и устраняется учетом того, что квантованное поле в случае малых частот находится в К. с. При точном квантово-механич. описании когерентных источников света с необходимостью возникают К. с. электромагнитного поля. Свойства сверхтекучести и сверхпроводимости также могут быть объяснены тем, что соответственно сверхтекучая компонента в жидком гелии и куперовские пары в сверхпроводниках находятся в К. с. Это же относится и к другим явлениям с упорядочением. Для произвольных квантовых систем с $N$ степенями свободы К. с. вводятся по следующей схеме. Находятся $N$ неэрмитовых интегралов движения \[ \hat{A}_{i}=\hat{U}(t) \hat{a}_{i} U^{-1}(t) \] с бозонными коммутационными соотношениями $\left[\hat{A}_{i}, \hat{A}_{k}^{+}\right]=$ $=\delta_{i k}$, где $\hat{U}(t)$ - оператор эволюции системы, переводящий вектор состояния, заданный в начальный момент времени, $|\Psi(0)\rangle$, в вектор состояния \[ |\Psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\Psi(0)\rangle \] $\hat{a}_{i}$ - оператор уничтожения, действительная и мнимая части к-рого определяют начальную точку траектории системы в фазовом пространстве средних координат и импульсов $\left(\delta_{i k}-\right.$ символ Кронекера). Затем находится нормированный вакуумный вектор (вектор основного состояния) из решения системы уравнений $\hat{A}_{i}|0\rangle=0$. Действием на этот вектор оператора сдвига строится К. с.: \[ |\alpha\rangle=\prod_{i=1}^{N} \exp \left(\alpha_{i} \hat{A}_{i}^{+}-\alpha_{i}^{*} \hat{A}_{i}\right)|0\rangle \] удовлетворяющее временному уравнению Шредингера. Для квантовых систем общего вида среднего изменения координат и импульсов, вообще говоря, не соответствуют классич. траекториям, а волновые функции в К. с. являются гауссовыми пакетами только в начальный момент времени - произведение неопределенностей координаты и импульса не остается со временем равным $\hbar / 2$. Однако существенным для расчетов является свойство К. с. быть производящей функцией для состояний - аналогов состояний с заданной энергией стационарного квантового осциллятора. Как пример для квантовых систем, описываемых нестационарным гамильтонианом квадратичной формы по операторам координат и импульсов, это свойство позволяет найти точно (не по теории возмущений) через многомерные многочлены Эрмита вероятности переходов между уровнями энергии $N$-мерного гармонич. осциллятора при параметрич. возбуждении самого общего типа [3]. Особым видом К. с. являются так наз. сжатые К. с. В этих состояниях волновые пакеты - гауссовы, по \[ \Delta x=l / \sqrt{2} \mu, \Delta p=\mu \hbar / \sqrt{2} l, \] где $\mu$ - любое положительное число; при этом по-прежнему $\Delta p \Delta x=\hbar / 2$. Такие состояния важны, напр., при попытках (пока не реализованных) построить детекторы гравитационных волн интерференционного типа. Лит.: [1] Glauber R. J., «Phys. Rev. Lett.», 1963, v. 10, p. 84; [2] Schrodinger E., «Naturwiss.», 1926, Bd 14, S. 664; [3] Малкин И. А., Манько В. И., Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем, М., 1979; [4] Когерентные состояния в квантовой теории. Сб. ст., пер. с англ., М., 1972. В. И. Манько.

состояние, максимально близкое к состоянию классического осциллятора в том смысле, что произведение неопределенностей (дисперсий) координаты и импульса в этом состоянии принимает минимально возможное в рамках соотношения неопределенностей значение. Термин введен Р. Глаубером [1]. С аналогичным свойством волновые пакеты строились в начале развития квантовой механики Э. Шредингером [2]. В К. с. гармонич. осциллятора волновой пакет не расплывается, а его центр движется по классич. траектории. Дисперсии координаты и импульса одномерного квантового гармонич. осциллятора в К. с. (с вектором состояния $|\alpha\rangle)$ равны соответственно $\Delta x=l / \sqrt{2}$ и $\Delta p=\hbar / l \sqrt{2}$, где $l$ амплитуда нулевых колебаний, так что $\Delta p \Delta x=\hbar / 2$. При этом изменение во времени средних значений координаты и импульса соответствует классич. траекториям, а $\Delta x$ и $\Delta p$ остаются постоянными, то есть эволюционируя, К. с. остается когерентным. K. с. $|\alpha\rangle$ осциллятора массы $m$ и частоты $\omega$ описывается нормированной волновой функцией, имеющей в координатном представлении вид гауссова волнового пакета: \[ \Psi_{\alpha}(x)=\pi^{-1 / 4} l^{-1 / 2} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2 l^{2}}-\frac{|\alpha|^{2}}{2}+\frac{\sqrt{2} \alpha x}{l}-\frac{\alpha^{2}}{2}\right) . \] Здесь $l=(\hbar / m \omega)^{1 / 2}, \alpha-$ любое комплексное число, действительная часть к-рого связана со средним значением оператора координаты $(\hat{x})$ в состоянии $|\alpha\rangle$ : \[ \operatorname{Re} \alpha=\langle\alpha|\hat{x}| \alpha\rangle / \sqrt{2} l \text {, } \] а мнимая - со средним значением оператора импульса $(\hat{p})$ : \[ \operatorname{Im} \alpha=l\langle\alpha|\hat{p}| \alpha\rangle / \sqrt{2} \hbar \] Таким образом, положение центра $x_{c}$ гауссова пакета в К. с. определяется числом $\alpha$ : \[ x_{c}=\sqrt{2} l \operatorname{Re} \alpha \] В импульсном представлении волновая функция К. с. также имеет вид гауссова пакета: \[ \Psi_{\alpha}(p)=\pi^{-1 / 4}\left(\frac{l}{\hbar}\right)^{1 / 2} \exp \left(-\frac{p^{2 / 2}}{2 \hbar^{2}}-\frac{|\alpha|^{2}}{2}+\frac{\sqrt{2} \alpha p l}{\hbar}-\frac{\alpha^{2}}{2}\right) . \] Вместо операторов $\hat{x}$ и $\hat{p}$ удобно ввести операторы уничтожения $\hat{a}$ и рождения $\hat{a}^{+}$: \[ \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\hat{x}}{l}+\frac{i \hat{p} l}{\hbar}\right), \quad \hat{a}^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\hat{x}}{l}-\frac{i \hat{p} l}{\hbar}\right) . \] Название операторов связано с тем, что действие $\hat{a}^{+}$на состояние $|n\rangle$ гармонич. осциллятора с заданной энергией $\mathscr{E}_{n}=\omega(n+1 / 2), n=0,1,2, \ldots$, переводит осциллятор в возбужденное состояние $|n+1\rangle$, увеличивая его энергию на квант энергии $\hbar \omega$, а действие $\hat{a}$ на $|n\rangle$ уменьшает его энергию на этот же квант. К. с. $|\alpha\rangle$ является собственным состоянием оператора уничтожения: \[ \hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle \] Оно получается действием унитарного оператора $\hat{D}(\alpha)=$ $=\exp \left(\alpha a^{+}-a^{*} \hat{a}\right)$ на вектор основного (вакуумного) состояния $|0\rangle,|\alpha\rangle=\hat{D}(\alpha)|0\rangle, \hat{a}|0\rangle=0$ (звездочкой помечено комплексное сопряжение). $\hat{D}(\alpha)$ называется оператором сдвига, так как он смещает центр волнового пакета на величину $\sqrt{2} \mathrm{al}$. Скалярное произведение двух векторов К. с. (или матричный элемент единичного оператора в представлении К. с.) имеет вид: \[ \langle\alpha \mid \beta\rangle=\exp \left(-\frac{|\alpha|^{2}}{2}-\frac{|\beta|^{2}}{2}+\alpha^{*} \beta\right) \] и не равно нулю при $\alpha \neq \beta$, то есть К. с. неортогональны. Однако квадрат модуля скалярного произведения \[ |\langle\alpha \mid \beta\rangle|^{2}=\exp \left(-|\alpha-\beta|^{2}\right) \] очень быстро стремится к нулю при $|\alpha-\beta| \gg 1$, что физически отвечает уменьшению перекрытия двух волновых пакетов, центры к-рых раздвигаются (поскольку $\alpha$ и $\beta$ определяют центры этих пакетов). По состояниям $|n\rangle$ с заданной энергией К. с. разлагается в ряд: \[ |\alpha\rangle=\exp \left(-\frac{|\alpha|^{2}}{2}\right) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n !}}|n\rangle . \] Это означает, что $\exp \left(|\alpha|^{2} / 2\right)|a\rangle$ является производящей функцией для состояний $|n\rangle$. Среднее значение энергии осциллятора в К. с. $|a\rangle$ определяется формулой \[ \mathscr{E}_{\alpha}=\hbar \omega\left(|\alpha|^{2}+1 / 2\right) \] а распределение по уровням энергии является распределением Пуассона: \[ \mathscr{P}_{\alpha}(n)=\exp \left(-|\alpha|^{2}\right) \frac{|\alpha|^{2 n}}{n !} \] При этом эволюция К. с. задается формулой \[ |a\rangle \rightarrow e^{-i \omega t / 2}\left|\alpha e^{-i \omega t}\right\rangle \] K. с. $|a\rangle$ образуют полную, точнее переполненную, систему векторов состояний; разложение единичного оператора $\hat{I}$ имеет вид: \[ \hat{I}=\pi^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} d(\operatorname{Re} \alpha) d(\operatorname{Im} \alpha)|\alpha\rangle\langle\alpha| . \] Произвольный вектор состояния $|\Psi\rangle$ может быть разложен по К. с.: \[ |\Psi\rangle=\pi^{-1} \int_{-\infty}^{\infty}|\alpha\rangle\langle\alpha \mid \Psi\rangle d(\operatorname{Re} \alpha) d(\operatorname{Im} \alpha) . \] В квантовой теории поля система частиц с целым спином - бозонов (фотонов, $\pi$-мезонов и т. д.) - описывается как бесконечный набор квантовых гармонич. осцилляторов. Возбужденному состоянию осциллятора $|n\rangle$ отвечает при этом совокупность $n$ бозонов с энергией $\hbar \omega$. В этом случае оператор уничтожения $\hat{a}$ уменьшает, а оператор рождения $\hat{a}^{+}$увеличивает число частиц в системе на единицу. К. с. квантованного электромагнитного поля (и других бозе-полей) вводятся на основе представления гамильтониана поля в виде суммы гамильтонианов гармонич. осцилляторов, отвечающих различным модам колебаний поля. Для моды определенной частоты и поляризации электромагнитного поля К. с. описывается приведенными выше формулами, при этом в К. с. число фотонов неопределенно, а распределение по числу фотонов является распределением Пуассона. Если все осцилляторы поля находятся в К. с., то состояние квантового поля наиболее близко к классическому. Важность К. с. в физике обусловлена тем, что во многих случаях физич. квантованные поля находятся именно в таких состояниях. Напр., классич. ток, создаваемый движущимися электрич. зарядами, излучает фотоны, находящиеся в К. с. Инфракрасная расходимость в квантовой электродинамике объясняется и устраняется учетом того, что квантованное поле в случае малых частот находится в К. с. При точном квантово-механич. описании когерентных источников света с необходимостью возникают К. с. электромагнитного поля. Свойства сверхтекучести и сверхпроводимости также могут быть объяснены тем, что соответственно сверхтекучая компонента в жидком гелии и куперовские пары в сверхпроводниках находятся в К. с. Это же относится и к другим явлениям с упорядочением. Для произвольных квантовых систем с $N$ степенями свободы К. с. вводятся по следующей схеме. Находятся $N$ неэрмитовых интегралов движения \[ \hat{A}_{i}=\hat{U}(t) \hat{a}_{i} U^{-1}(t) \] с бозонными коммутационными соотношениями $\left[\hat{A}_{i}, \hat{A}_{k}^{+}\right]=$ $=\delta_{i k}$, где $\hat{U}(t)$ - оператор эволюции системы, переводящий вектор состояния, заданный в начальный момент времени, $|\Psi(0)\rangle$, в вектор состояния \[ |\Psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\Psi(0)\rangle \] $\hat{a}_{i}$ - оператор уничтожения, действительная и мнимая части к-рого определяют начальную точку траектории системы в фазовом пространстве средних координат и импульсов $\left(\delta_{i k}-\right.$ символ Кронекера). Затем находится нормированный вакуумный вектор (вектор основного состояния) из решения системы уравнений $\hat{A}_{i}|0\rangle=0$. Действием на этот вектор оператора сдвига строится К. с.: \[ |\alpha\rangle=\prod_{i=1}^{N} \exp \left(\alpha_{i} \hat{A}_{i}^{+}-\alpha_{i}^{*} \hat{A}_{i}\right)|0\rangle \] удовлетворяющее временному уравнению Шредингера. Для квантовых систем общего вида среднего изменения координат и импульсов, вообще говоря, не соответствуют классич. траекториям, а волновые функции в К. с. являются гауссовыми пакетами только в начальный момент времени - произведение неопределенностей координаты и импульса не остается со временем равным $\hbar / 2$. Однако существенным для расчетов является свойство К. с. быть производящей функцией для состояний - аналогов состояний с заданной энергией стационарного квантового осциллятора. Как пример для квантовых систем, описываемых нестационарным гамильтонианом квадратичной формы по операторам координат и импульсов, это свойство позволяет найти точно (не по теории возмущений) через многомерные многочлены Эрмита вероятности переходов между уровнями энергии $N$-мерного гармонич. осциллятора при параметрич. возбуждении самого общего типа [3]. Особым видом К. с. являются так наз. сжатые К. с. В этих состояниях волновые пакеты - гауссовы, по \[ \Delta x=l / \sqrt{2} \mu, \Delta p=\mu \hbar / \sqrt{2} l, \] где $\mu$ - любое положительное число; при этом по-прежнему $\Delta p \Delta x=\hbar / 2$. Такие состояния важны, напр., при попытках (пока не реализованных) построить детекторы гравитационных волн интерференционного типа. Лит.: [1] Glauber R. J., «Phys. Rev. Lett.», 1963, v. 10, p. 84; [2] Schrodinger E., «Naturwiss.», 1926, Bd 14, S. 664; [3] Малкин И. А., Манько В. И., Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем, М., 1979; [4] Когерентные состояния в квантовой теории. Сб. ст., пер. с англ., М., 1972. В. И. Манько.