КОММУТАТОР ОПЕРАТОРОВ $A$ И $B$

принадлежащих множеству $\mathscr{A}(X)$ непрерывных линейных операторов в банаховом пространстве $X,-$ оператор \[ [A, B]=A B-B A \] и $\mathscr{B}(X)$ - алгебра Ли с операцией $[\cdot, \cdot] . A$ и $B$ коммутируют (перестановочны), если $[A, B]=0$. Для семейства $\mathscr{\mu} \subset \mathscr{B}(X)$ его коммутант \[ \mathscr{M}^{\prime}=\{A \in \mathscr{B}(X):[A, B]=0, B \in \mathscr{\mu}\} . \] Если компактный оператор $A \neq 0$ и $\operatorname{dim} X=\infty$, то $\{A\}^{\prime}$ имеет общее нетривиальное инвариантное подпространство. В гильбертовом пространстве $H$ всякий компактный оператор есть К. $A, B \in \mathscr{B}(H)$; всякий $A \in \mathscr{B}(H)$ есть линейная комбинация двух K., но при $0 \neq \alpha \in \mathbb{C}$ не существует таких $P, Q \in \mathscr{B}(H)$, что $[P, Q]=\alpha I$. В связи с коммутационными соотношениями в квантовой механике исследовались такие неограниченные самосопряженные $P$ и $Q$, что $P Q-Q P=$ $=-i \hbar I$ на плотном линейном многообразии $D \subset H$ (см. также Неопределенностей соотношения). При разных предположениях удается свести задачу к изучению свойств К. для ограниченных функций от $P$ и $\dot{Q}$ таких, как элементы однопараметрич. (полу)групп, порожденных $\boldsymbol{P}$ и $Q$, или резольвенты; см. также Стоуна - Неймана теорема. В алгебре $\mathscr{A}(D)$ неограниченных линейных операторов с общим инвариантным линейным многообразием $D$, плотным в $H$, вводят К. операторов, полагая \[ [A, B] \xi=A B \xi-B A \xi, \xi \in D, \] хотя для произвольной пары замкнутых плотно определенных операторов $A$ и $B$ возможно $\{0\}=D(A B) \cap D(B A)$. Говорят, что оператор $A$ с областью определения $D(A)$ и оператор $B \in \mathscr{B}(H)$ коммутируют, если $A B$ есть расширение $B A$; их называют слабо коммутирующими (на множестве $\left.D \subset D(A) \cap D\left(A^{*}\right)\right)$, если $\left(A^{*} \xi, B \eta\right)=\left(B^{*} \xi, A \eta\right)$ для $\xi$, $\eta \in D$, то есть не требуется $B D(A) \subset D(A)$. Есть и другие понятия коммутативности и соответствующие им определения коммутанта $\mathscr{A}(D)^{\prime} \subset \mathscr{B}(H)$ для $\mathscr{A}(D)$. Самосопряженные $A$ и $B$ сильно коммутируют, если коммутируют в $\mathscr{B}(H)$ их спектральные проекторы. Это свойство не следует из $[A, B] \xi=0$ для всех $\xi$ из общей инвариантной области существенной самосопряженности $A$ и $B$ (контрпример Нельсона). В терминах К. операторов формулируется ряд условий существенной самосопряженности симметрич. операторов. Понятие К. операторов используют в квантовой механике (см. Перестановочные соотношения).

принадлежащих множеству $\mathscr{A}(X)$ непрерывных линейных операторов в банаховом пространстве $X,-$ оператор \[ [A, B]=A B-B A \] и $\mathscr{B}(X)$ - алгебра Ли с операцией $[\cdot, \cdot] . A$ и $B$ коммутируют (перестановочны), если $[A, B]=0$. Для семейства $\mathscr{\mu} \subset \mathscr{B}(X)$ его коммутант \[ \mathscr{M}^{\prime}=\{A \in \mathscr{B}(X):[A, B]=0, B \in \mathscr{\mu}\} . \] Если компактный оператор $A \neq 0$ и $\operatorname{dim} X=\infty$, то $\{A\}^{\prime}$ имеет общее нетривиальное инвариантное подпространство. В гильбертовом пространстве $H$ всякий компактный оператор есть К. $A, B \in \mathscr{B}(H)$; всякий $A \in \mathscr{B}(H)$ есть линейная комбинация двух K., но при $0 \neq \alpha \in \mathbb{C}$ не существует таких $P, Q \in \mathscr{B}(H)$, что $[P, Q]=\alpha I$. В связи с коммутационными соотношениями в квантовой механике исследовались такие неограниченные самосопряженные $P$ и $Q$, что $P Q-Q P=$ $=-i \hbar I$ на плотном линейном многообразии $D \subset H$ (см. также Неопределенностей соотношения). При разных предположениях удается свести задачу к изучению свойств К. для ограниченных функций от $P$ и $\dot{Q}$ таких, как элементы однопараметрич. (полу)групп, порожденных $\boldsymbol{P}$ и $Q$, или резольвенты; см. также Стоуна - Неймана теорема. В алгебре $\mathscr{A}(D)$ неограниченных линейных операторов с общим инвариантным линейным многообразием $D$, плотным в $H$, вводят К. операторов, полагая \[ [A, B] \xi=A B \xi-B A \xi, \xi \in D, \] хотя для произвольной пары замкнутых плотно определенных операторов $A$ и $B$ возможно $\{0\}=D(A B) \cap D(B A)$. Говорят, что оператор $A$ с областью определения $D(A)$ и оператор $B \in \mathscr{B}(H)$ коммутируют, если $A B$ есть расширение $B A$; их называют слабо коммутирующими (на множестве $\left.D \subset D(A) \cap D\left(A^{*}\right)\right)$, если $\left(A^{*} \xi, B \eta\right)=\left(B^{*} \xi, A \eta\right)$ для $\xi$, $\eta \in D$, то есть не требуется $B D(A) \subset D(A)$. Есть и другие понятия коммутативности и соответствующие им определения коммутанта $\mathscr{A}(D)^{\prime} \subset \mathscr{B}(H)$ для $\mathscr{A}(D)$. Самосопряженные $A$ и $B$ сильно коммутируют, если коммутируют в $\mathscr{B}(H)$ их спектральные проекторы. Это свойство не следует из $[A, B] \xi=0$ для всех $\xi$ из общей инвариантной области существенной самосопряженности $A$ и $B$ (контрпример Нельсона). В терминах К. операторов формулируется ряд условий существенной самосопряженности симметрич. операторов. Понятие К. операторов используют в квантовой механике (см. Перестановочные соотношения).