КОНТАКТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

нечетномерный аналог симплектической геометрии. Взаимоотношения между ними аналогичны взаимоотношениям между геометрией проективного и векторного пространства. Основные определения. Контактной структурой в нечетномерном многообразии $M^{2 n+1}$ называется невырожденное $2 n$-мерное распределение, то есть такое распределение, к-рое локально можно задать как ядро 1-формы $\lambda$, удовлетворяющей условию невырожденности: $\lambda \wedge(d \lambda)^{n} \neq 0$ (ни в одной точке). Если на многообразии задана контактная структура, то многообразие называется контактным многообразием; 1-форма, задающая контактную структуру, называется контактной формой (такая всюду определенная форма существует не для всякой контактной структуры). Контактные формы, задающие одну и ту же контактную структуру, отличаются умножением на функцию, нигде не обращающуюся в нуль. Если $\lambda-$ контактная форма, то 2-форма $d \lambda$ определяет на $2 n$-мерной контактной гиперплоскости невырожденную 2-форму, то есть задает структуру симплектич. пространства. Это условие в свою очередь эквивалентно тому, что распределение, заданное 1-формой $\lambda$, невырожденно, то есть является контактной структурой. Основные примеры. Первый пример контактной структуры - это двумерное распределение в $\mathbb{R}^{3}$, заданное контактной формой $\lambda=x d y+d z(x, y$ и $z-$ декартовы координаты). Подобная структура существует и в $\mathbb{R}^{2 n+1}$: \[ \lambda=\sum x_{i} d y_{i}+d z \] где $x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}, z$ - декартовы координаты. Локально все контактные структуры в $(2 n+1)$-мерном многообразии диффеоморфны этой (контактная теорема Дарбу). Стандартная контактная структура в трехмерной сфере $S^{3}$ задается, как распределение комплексных прямых $\mathbb{C}^{1}$, касательных к сфере $S^{3}$, вложенной в $\mathbb{C}^{2}$ в качестве единичной сферы. Эквивалентное описание: контактное распределение состоит из плоскостей, перпендикулярных слоям расслоения Хопфа (то есть окружностям, являющимся орбитами действия группы $U(1)$ на $S^{3} \subset \mathbb{C}^{2}$). Аналогично строится стандартная контактная структура в любой нечетномерной сфере. Важным примером контактного многообразия служит многообразие 1-струй функций $J M$ многообразия $M^{n}$, состоящее из 1-струй \[ (x, f(x), d f(x)), x \in M . \] Многообразие $J^{1} M=\mathbb{R} \times T^{*} M$ имеет контактную форму $\lambda=d z-\alpha$, где $z-$ координата на оси $\mathbb{R}$ значений функций, а $\alpha=\sum p_{i} d q_{i}-$ форма действия в $T^{*} M$. Само название «контактная структура» обязано существованием другому примеру - многообразию контактных элементов. Контактным элементом на многообразии $M^{n}$ называется гиперплоскость в касательном пространстве к $M$ в нек-рой точке, называемой точкой контакта. Различают многообразие всех контактных элементов, являющееся проективизацией кокасательного расслоения: $P\left(T^{*} M\right)$, и двулистно накрывающее его многообразие ориентированных контактных элементов, являющееся сферизацией кокасательного расслоения. Многообразие контактных элементов несет контактную структуру. Именно, касательный вектор к этому многообразию в точке $\xi$, где $\xi-$ контактный элемент, лежит в контактной гиперплоскости, если его проекция в TM лежит в гиперплоскости $\xi$. Более наглядно: перемещение контактного элемента касается контактной гиперплоскости, если скорость точки контакта принадлежит этому контактному элементу. Симплектизация и контактизация. Связь между контактной и симплектич. геометрией устанавливается двумя конструкциями: симплектизацией и контактизацией. Если $M-$ контактное многообразие, то над $M$ существует одномерное расслоение, слой к-рого над точкой $x \in M$ состоит из ненулевых функционалов на $T_{x} M$, равных нулю на контактной гиперплоскости. На пространстве $N$ этого расслоения определена 1-форма $\alpha$; её значение на векторе $\boldsymbol{v} \in T M$ в точке $\xi \in N$ равно значению функционала $\xi$ на проекции $v$ в $T M$. 2-форма $d \alpha$ определяет в $N$ симплектич. структуру; многообразие $N$ называется симплектизацией контактного многообразия $M$. Пример симплектизации: если в качестве $M$ взять многообразие контактных элементов $P T^{*} X$, то симплектизацией $N$ будет $T^{*} X-X-$ кокасательное расслоение без нулевого сечения. На многообразии $N$ действует мультипликативная группа $\mathbb{R}^{x}$ ненулевых действительных чисел умножением функционалов на скаляры. Симплектич. структура $d \alpha$ в $N$ однородна степени 1 относительно этого действия. Симплектизация позволяет сводить вопросы, относящиеся к К. г., к аналогичным вопросам симплектич. геометрии. Напр., контактоморфизмы многообразия $M$ (то есть диффеоморфизмы, сохраняющие контактную структуру) взаимно однозначно соответствуют симплектоморфизмам многообразия $N$, коммутирующим с действием группы $\mathbb{R}^{x}$. Контактизация сопоставляет точному симплектич. многообразию $N$ (то есть многообразию, на к-ром симплек- контактное многообразие $K=N \times \mathbb{R}$ с контактной формой $\alpha-d z$, где $z-$ координата в $\mathbb{R}$. Напр., если $N$ является кокасательным расслоением $T^{*} M$, Контактизация определена не однозначно - она зависит от выбора 1-формы $\alpha$ в равенстве $\omega=d \alpha$. Контактные векторные поля. Контактное векторное поле - это такое векторное поле на контактном многообразии, локальный поток к-рого сохраняет контактную структуру, то есть является контактоморфизмом. Контактные векторные поля образуют алгебру Ли. Пример такого поля - геодезич. поток. Это векторное поле определено в многообразии контактных элементов риманова многообразия. Его поток параллельно переносит контактные элементы вдоль геодезических, выходящих из точек контакта в перпендикулярном контактному элементу направлении. Подобно тому как сохраняющие симплектич. структуру векторные поля на симплектич. многообразии задаются гамильтонианом, контактные векторные поля на контактном многообразии $M$ с контактной формой $\lambda$ задаются своими контактными гамильтонианами. Их построение использует конструкцию симплектизации: контактное поле $\boldsymbol{v}$ определяет однородное $\mathbb{R}^{X}$-инвариантное гамильтоново поле $\boldsymbol{v}$ на симплектизации $N$; 1-форма $\lambda$ задает вложение $M \subset N$; ограничение на $M$ однородного гамильтониана поля $\boldsymbol{v}$ и называется контактным гамильтонианом поля $\boldsymbol{v}$. Формулы для вычисления: если \[ \lambda=d z-\sum x_{i} d y_{i} \] $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}, z-\right.$ координаты $)$, то функции $f$ отвечает контактное поле: \[ \begin{gathered} v=\left(f-\sum x_{i} \partial f / \partial x_{i}\right) \partial / \partial z+ \\ +\sum\left(\partial f / \partial y_{i}+x_{i} \partial f / \partial z\right) \partial / \partial x_{i}-\sum \partial f / \partial x_{i} \partial / \partial y_{i} \end{gathered} \] В частности, $\lambda(v)=f$. Это равенство уже не зависит от выбора координат. Соответствие $f \mapsto v$ взаимно однозначное. Поэтому в пространстве гладких функций на контактном многообразии возникает структура алгебры Ли. Она называется скобкой Лагранжа. В прежних координатах она записывается так: \[ \begin{gathered} {[f, g]=f \partial g / \partial z-\partial f / \partial z g-} \\ -\sum x_{i}\left(\partial f / \partial x_{i} \partial g / \partial z-\partial f / \partial z \partial g / \partial x_{i}\right)- \\ -\sum \partial f / \partial x_{i} \partial g / \partial y_{i}+\sum \partial f / \partial y_{i} \partial g / \partial x_{i} . \end{gathered} \] Лежандровы многообразия. Лежандровы многообразия - это интегральные подмногообразия наибольшей размерности $n$ в контактном $(2 n+1)$-мерном многообразии. Касательное пространство лежандрова многообразия в каждой точке лежит в контактной гиперплоскости и является в ней лагранжевым подпространством относительно симплектич. структуры $d \lambda$, где $\lambda$ - локальная контактная форма. Примером лежандрова подмногообразия контактных элементов $P\left(T^{*} M\right)$ многообразия $M$ служит множество всех контактных элементов, касающихся нек-рого фиксированного подмногообразия $P \subset M$. В частности, если $P-$ точка, то в качестве лежандрова многообразия выступает проективное пространство - слой расслоения $P T^{*} M \rightarrow M$. В качестве $P$ можно взять подмногообразие коразмерности 1 риманова многообразия - волновой фронт - и подвергнуть соответствующее лежандрово многообразие действию геодезич. потока. После сдвига за время $t$ новое лежандрово многообразие уже может не быть множеством контактных элементов, касающихся какого-либо гладкого многообразия, так как на волновом фронте могут возникать особенности. Их характер изучает теория лежандровых особенностей. Другой пример лежандрова многообразия - 1-график фиксированной функции $f$, то есть подмногообразие многообразия 1-струй $J^{1} M$, состоящее из $1-$ струй функции $f$ во всех точках $M$. Характеристики. Характеристиками в контактном многообразии с контактной формой $\lambda$ называются кривые, касательные прямые к-рых в каждой точке являются ядрами 2-формы $d \lambda$. Характеристики трансверсальны контактному распределению и локально расслаивают контактное многообразие, причем база этого расслоения - симплектич. многообразие, симплектич. структура к-рого задана 2-формой $d \lambda$. Примером является трехмерная сфера $S^{3}$ со стандартной контактной структурой. При надлежащем выборе контактной формы окружности слои расслоения Хопфа $S^{3} \rightarrow S^{2}$ будут характеристиками. Тем самым контактное многообразие $S^{3}$ расслоено на характеристики $S^{1}$, а базой является симплектич. многообразие $S^{2}$. Характеристическим векторным полем (полем Риба) называется такое поле $\boldsymbol{v}$, что $i_{v} d \lambda=0$, $i_{\boldsymbol{v}} \lambda=1$. Траектории характеристич. поля - характеристики. Характеристич. поле сохраняет контактную структуру и даже контактную форму $\lambda$. Пример характеристич. поля - геодезич. поток в многообразии контактных элементов риманова многообразия. Важная задача К. г. - задача о замкнутых характеристиках. Она состоит в том, чтобы определить, для каких контактных форм существуют замкнутые характеристич. кривые (и сколько их). К этой задаче сводится задача о замкнутых геодезических на римановых многообразиях и о движении заряженной частицы в магнитном поле. Эта еще полностью не решенная проблема тесно связана с задачей о неподвижных точках симплектоморфизмов. Гомотопические вопросы. Важное место в К. г. занимают вопросы существования и эквивалентности контактных структур. Если многообразие $M^{2 n+1}$ контактное, то структурная группа его касательного расслоения редуцируется к $U(n)$. Поэтому все характеристич. числа $M$ равны нулю и многообразие бордантно нулю (то есть является границей). Это необходимое условие существования контактной структуры. Каждое трехмерное многообразие несет контактную структуру, причем контактная структура существует в каждом гомотопич. классе двумерных распределений. Если две контактные структуры на компактном многообразии гомотопны в классе контактных структур, то они диффеоморфны. (То есть существует диффеоморфизм, дифференциал к-рого переводит контактные гиперплоскости первой структуры в гиперплоскости второй.) На открытых многообразиях подобное не верно. Нестандартные контактные структуры. Стандартная контактная структура в трехмерном пространстве в цилиндрич. $\rho \sin \rho d \varphi+\cos \rho d z$ задает в $\mathbb{R}^{3}$ другую контактную структуру, к-рая не диффеоморфна стандартной. Аналогично явными формулами задаются не диффеоморфные стандартной контактные структуры в трехмерной сфере. Различать стандартные и нестандартные структуры позволяет Беннекена инвариант. Если $\gamma$ - замкнутая кривая в $\mathbb{R}^{3}$, трансверсальная контактной структуре, а $\boldsymbol{v}-$ невырожденное векторное поле в $\mathbb{R}^{3}$, касающееся контактной структуры, то малый сдвиг $\gamma$ вдоль поля $\boldsymbol{v}$ даст новую кривую $\gamma^{\prime}$, не пересекающуюся с $\gamma$. Коэффициент зацепления $\gamma$ и $\gamma^{\prime}$ называется инвариантом Беннекена кривой $\gamma$. Он не зависит от поля $\boldsymbol{v}$ и не меняется при изотопии кривой $\gamma$ и гомотопии контактной структуры, сохраняющих их трансверсальность. Согласно теореме Беннекена, для стандартной контактной структуры в $\mathbb{R}^{3}$ и вложенной в $\mathbb{R}^{3}$ связной поверхности $M^{2}$, краем к-рой является $\gamma$, инвариант Беннекена не больше $-\chi(M)$, где $\chi(M)$ - эйлерова характеристика. В частности, если $\gamma$ - незаузленная кривая, трансверсальная стандартной контактной структуре в $\mathbb{R}^{3}$, то её инвариант Беннекена отрицателен. Это свойство не выполнено для нек-рых трансверсальных кривых в $\mathbb{R}^{3}$ с нестандартной контактной структурой. Лит.: [1] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979; [2] Арнольд В. И., Гивенталь А. Б., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы, т. 4, М., 1985; [3] Арнольд В. И., «Успехи математич. наук», 1986, т. 41, в. 6, с. 3-18; [4] Bennequin D., «Astérisque», 1983, v. 107-108, p. $87-161$. С. А. Табачников.

нечетномерный аналог симплектической геометрии. Взаимоотношения между ними аналогичны взаимоотношениям между геометрией проективного и векторного пространства. Основные определения. Контактной структурой в нечетномерном многообразии $M^{2 n+1}$ называется невырожденное $2 n$-мерное распределение, то есть такое распределение, к-рое локально можно задать как ядро 1-формы $\lambda$, удовлетворяющей условию невырожденности: $\lambda \wedge(d \lambda)^{n} \neq 0$ (ни в одной точке). Если на многообразии задана контактная структура, то многообразие называется контактным многообразием; 1-форма, задающая контактную структуру, называется контактной формой (такая всюду определенная форма существует не для всякой контактной структуры). Контактные формы, задающие одну и ту же контактную структуру, отличаются умножением на функцию, нигде не обращающуюся в нуль. Если $\lambda-$ контактная форма, то 2-форма $d \lambda$ определяет на $2 n$-мерной контактной гиперплоскости невырожденную 2-форму, то есть задает структуру симплектич. пространства. Это условие в свою очередь эквивалентно тому, что распределение, заданное 1-формой $\lambda$, невырожденно, то есть является контактной структурой. Основные примеры. Первый пример контактной структуры - это двумерное распределение в $\mathbb{R}^{3}$, заданное контактной формой $\lambda=x d y+d z(x, y$ и $z-$ декартовы координаты). Подобная структура существует и в $\mathbb{R}^{2 n+1}$: \[ \lambda=\sum x_{i} d y_{i}+d z \] где $x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}, z$ - декартовы координаты. Локально все контактные структуры в $(2 n+1)$-мерном многообразии диффеоморфны этой (контактная теорема Дарбу). Стандартная контактная структура в трехмерной сфере $S^{3}$ задается, как распределение комплексных прямых $\mathbb{C}^{1}$, касательных к сфере $S^{3}$, вложенной в $\mathbb{C}^{2}$ в качестве единичной сферы. Эквивалентное описание: контактное распределение состоит из плоскостей, перпендикулярных слоям расслоения Хопфа (то есть окружностям, являющимся орбитами действия группы $U(1)$ на $S^{3} \subset \mathbb{C}^{2}$). Аналогично строится стандартная контактная структура в любой нечетномерной сфере. Важным примером контактного многообразия служит многообразие 1-струй функций $J M$ многообразия $M^{n}$, состоящее из 1-струй \[ (x, f(x), d f(x)), x \in M . \] Многообразие $J^{1} M=\mathbb{R} \times T^{*} M$ имеет контактную форму $\lambda=d z-\alpha$, где $z-$ координата на оси $\mathbb{R}$ значений функций, а $\alpha=\sum p_{i} d q_{i}-$ форма действия в $T^{*} M$. Само название «контактная структура» обязано существованием другому примеру - многообразию контактных элементов. Контактным элементом на многообразии $M^{n}$ называется гиперплоскость в касательном пространстве к $M$ в нек-рой точке, называемой точкой контакта. Различают многообразие всех контактных элементов, являющееся проективизацией кокасательного расслоения: $P\left(T^{*} M\right)$, и двулистно накрывающее его многообразие ориентированных контактных элементов, являющееся сферизацией кокасательного расслоения. Многообразие контактных элементов несет контактную структуру. Именно, касательный вектор к этому многообразию в точке $\xi$, где $\xi-$ контактный элемент, лежит в контактной гиперплоскости, если его проекция в TM лежит в гиперплоскости $\xi$. Более наглядно: перемещение контактного элемента касается контактной гиперплоскости, если скорость точки контакта принадлежит этому контактному элементу. Симплектизация и контактизация. Связь между контактной и симплектич. геометрией устанавливается двумя конструкциями: симплектизацией и контактизацией. Если $M-$ контактное многообразие, то над $M$ существует одномерное расслоение, слой к-рого над точкой $x \in M$ состоит из ненулевых функционалов на $T_{x} M$, равных нулю на контактной гиперплоскости. На пространстве $N$ этого расслоения определена 1-форма $\alpha$; её значение на векторе $\boldsymbol{v} \in T M$ в точке $\xi \in N$ равно значению функционала $\xi$ на проекции $v$ в $T M$. 2-форма $d \alpha$ определяет в $N$ симплектич. структуру; многообразие $N$ называется симплектизацией контактного многообразия $M$. Пример симплектизации: если в качестве $M$ взять многообразие контактных элементов $P T^{*} X$, то симплектизацией $N$ будет $T^{*} X-X-$ кокасательное расслоение без нулевого сечения. На многообразии $N$ действует мультипликативная группа $\mathbb{R}^{x}$ ненулевых действительных чисел умножением функционалов на скаляры. Симплектич. структура $d \alpha$ в $N$ однородна степени 1 относительно этого действия. Симплектизация позволяет сводить вопросы, относящиеся к К. г., к аналогичным вопросам симплектич. геометрии. Напр., контактоморфизмы многообразия $M$ (то есть диффеоморфизмы, сохраняющие контактную структуру) взаимно однозначно соответствуют симплектоморфизмам многообразия $N$, коммутирующим с действием группы $\mathbb{R}^{x}$. Контактизация сопоставляет точному симплектич. многообразию $N$ (то есть многообразию, на к-ром симплек- контактное многообразие $K=N \times \mathbb{R}$ с контактной формой $\alpha-d z$, где $z-$ координата в $\mathbb{R}$. Напр., если $N$ является кокасательным расслоением $T^{*} M$, Контактизация определена не однозначно - она зависит от выбора 1-формы $\alpha$ в равенстве $\omega=d \alpha$. Контактные векторные поля. Контактное векторное поле - это такое векторное поле на контактном многообразии, локальный поток к-рого сохраняет контактную структуру, то есть является контактоморфизмом. Контактные векторные поля образуют алгебру Ли. Пример такого поля - геодезич. поток. Это векторное поле определено в многообразии контактных элементов риманова многообразия. Его поток параллельно переносит контактные элементы вдоль геодезических, выходящих из точек контакта в перпендикулярном контактному элементу направлении. Подобно тому как сохраняющие симплектич. структуру векторные поля на симплектич. многообразии задаются гамильтонианом, контактные векторные поля на контактном многообразии $M$ с контактной формой $\lambda$ задаются своими контактными гамильтонианами. Их построение использует конструкцию симплектизации: контактное поле $\boldsymbol{v}$ определяет однородное $\mathbb{R}^{X}$-инвариантное гамильтоново поле $\boldsymbol{v}$ на симплектизации $N$; 1-форма $\lambda$ задает вложение $M \subset N$; ограничение на $M$ однородного гамильтониана поля $\boldsymbol{v}$ и называется контактным гамильтонианом поля $\boldsymbol{v}$. Формулы для вычисления: если \[ \lambda=d z-\sum x_{i} d y_{i} \] $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}, z-\right.$ координаты $)$, то функции $f$ отвечает контактное поле: \[ \begin{gathered} v=\left(f-\sum x_{i} \partial f / \partial x_{i}\right) \partial / \partial z+ \\ +\sum\left(\partial f / \partial y_{i}+x_{i} \partial f / \partial z\right) \partial / \partial x_{i}-\sum \partial f / \partial x_{i} \partial / \partial y_{i} \end{gathered} \] В частности, $\lambda(v)=f$. Это равенство уже не зависит от выбора координат. Соответствие $f \mapsto v$ взаимно однозначное. Поэтому в пространстве гладких функций на контактном многообразии возникает структура алгебры Ли. Она называется скобкой Лагранжа. В прежних координатах она записывается так: \[ \begin{gathered} {[f, g]=f \partial g / \partial z-\partial f / \partial z g-} \\ -\sum x_{i}\left(\partial f / \partial x_{i} \partial g / \partial z-\partial f / \partial z \partial g / \partial x_{i}\right)- \\ -\sum \partial f / \partial x_{i} \partial g / \partial y_{i}+\sum \partial f / \partial y_{i} \partial g / \partial x_{i} . \end{gathered} \] Лежандровы многообразия. Лежандровы многообразия - это интегральные подмногообразия наибольшей размерности $n$ в контактном $(2 n+1)$-мерном многообразии. Касательное пространство лежандрова многообразия в каждой точке лежит в контактной гиперплоскости и является в ней лагранжевым подпространством относительно симплектич. структуры $d \lambda$, где $\lambda$ - локальная контактная форма. Примером лежандрова подмногообразия контактных элементов $P\left(T^{*} M\right)$ многообразия $M$ служит множество всех контактных элементов, касающихся нек-рого фиксированного подмногообразия $P \subset M$. В частности, если $P-$ точка, то в качестве лежандрова многообразия выступает проективное пространство - слой расслоения $P T^{*} M \rightarrow M$. В качестве $P$ можно взять подмногообразие коразмерности 1 риманова многообразия - волновой фронт - и подвергнуть соответствующее лежандрово многообразие действию геодезич. потока. После сдвига за время $t$ новое лежандрово многообразие уже может не быть множеством контактных элементов, касающихся какого-либо гладкого многообразия, так как на волновом фронте могут возникать особенности. Их характер изучает теория лежандровых особенностей. Другой пример лежандрова многообразия - 1-график фиксированной функции $f$, то есть подмногообразие многообразия 1-струй $J^{1} M$, состоящее из $1-$ струй функции $f$ во всех точках $M$. Характеристики. Характеристиками в контактном многообразии с контактной формой $\lambda$ называются кривые, касательные прямые к-рых в каждой точке являются ядрами 2-формы $d \lambda$. Характеристики трансверсальны контактному распределению и локально расслаивают контактное многообразие, причем база этого расслоения - симплектич. многообразие, симплектич. структура к-рого задана 2-формой $d \lambda$. Примером является трехмерная сфера $S^{3}$ со стандартной контактной структурой. При надлежащем выборе контактной формы окружности слои расслоения Хопфа $S^{3} \rightarrow S^{2}$ будут характеристиками. Тем самым контактное многообразие $S^{3}$ расслоено на характеристики $S^{1}$, а базой является симплектич. многообразие $S^{2}$. Характеристическим векторным полем (полем Риба) называется такое поле $\boldsymbol{v}$, что $i_{v} d \lambda=0$, $i_{\boldsymbol{v}} \lambda=1$. Траектории характеристич. поля - характеристики. Характеристич. поле сохраняет контактную структуру и даже контактную форму $\lambda$. Пример характеристич. поля - геодезич. поток в многообразии контактных элементов риманова многообразия. Важная задача К. г. - задача о замкнутых характеристиках. Она состоит в том, чтобы определить, для каких контактных форм существуют замкнутые характеристич. кривые (и сколько их). К этой задаче сводится задача о замкнутых геодезических на римановых многообразиях и о движении заряженной частицы в магнитном поле. Эта еще полностью не решенная проблема тесно связана с задачей о неподвижных точках симплектоморфизмов. Гомотопические вопросы. Важное место в К. г. занимают вопросы существования и эквивалентности контактных структур. Если многообразие $M^{2 n+1}$ контактное, то структурная группа его касательного расслоения редуцируется к $U(n)$. Поэтому все характеристич. числа $M$ равны нулю и многообразие бордантно нулю (то есть является границей). Это необходимое условие существования контактной структуры. Каждое трехмерное многообразие несет контактную структуру, причем контактная структура существует в каждом гомотопич. классе двумерных распределений. Если две контактные структуры на компактном многообразии гомотопны в классе контактных структур, то они диффеоморфны. (То есть существует диффеоморфизм, дифференциал к-рого переводит контактные гиперплоскости первой структуры в гиперплоскости второй.) На открытых многообразиях подобное не верно. Нестандартные контактные структуры. Стандартная контактная структура в трехмерном пространстве в цилиндрич. $\rho \sin \rho d \varphi+\cos \rho d z$ задает в $\mathbb{R}^{3}$ другую контактную структуру, к-рая не диффеоморфна стандартной. Аналогично явными формулами задаются не диффеоморфные стандартной контактные структуры в трехмерной сфере. Различать стандартные и нестандартные структуры позволяет Беннекена инвариант. Если $\gamma$ - замкнутая кривая в $\mathbb{R}^{3}$, трансверсальная контактной структуре, а $\boldsymbol{v}-$ невырожденное векторное поле в $\mathbb{R}^{3}$, касающееся контактной структуры, то малый сдвиг $\gamma$ вдоль поля $\boldsymbol{v}$ даст новую кривую $\gamma^{\prime}$, не пересекающуюся с $\gamma$. Коэффициент зацепления $\gamma$ и $\gamma^{\prime}$ называется инвариантом Беннекена кривой $\gamma$. Он не зависит от поля $\boldsymbol{v}$ и не меняется при изотопии кривой $\gamma$ и гомотопии контактной структуры, сохраняющих их трансверсальность. Согласно теореме Беннекена, для стандартной контактной структуры в $\mathbb{R}^{3}$ и вложенной в $\mathbb{R}^{3}$ связной поверхности $M^{2}$, краем к-рой является $\gamma$, инвариант Беннекена не больше $-\chi(M)$, где $\chi(M)$ - эйлерова характеристика. В частности, если $\gamma$ - незаузленная кривая, трансверсальная стандартной контактной структуре в $\mathbb{R}^{3}$, то её инвариант Беннекена отрицателен. Это свойство не выполнено для нек-рых трансверсальных кривых в $\mathbb{R}^{3}$ с нестандартной контактной структурой. Лит.: [1] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979; [2] Арнольд В. И., Гивенталь А. Б., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы, т. 4, М., 1985; [3] Арнольд В. И., «Успехи математич. наук», 1986, т. 41, в. 6, с. 3-18; [4] Bennequin D., «Astérisque», 1983, v. 107-108, p. $87-161$. С. А. Табачников.