БАНАХОВА АЛГЕБРА

топологическая алгебра $A$ над полем комплексных чисел, топология которой определяется нормой, превращающей $\boldsymbol{A}$ в банахово пространство (полное нормированное векторное пространство), причем умножение элементов непрерывно по каждому из сомножителей. Б. а. называется коммутативной, если $x y=y x$ для всех $x, y \in A$. Б. а. $A$ называется алгеброй с единицей, если $A$ содержит такой элемент $e$, что $e x=x e=x$ для любого $x \in A$. Если в Б. а. $A$ нет единицы, то ее можно присоединить, то есть построить Б. а. $\tilde{A}$ с единицей такую, что $\tilde{A}$ содержит исходную алгебру $A$ в качестве замкнутой подалгебры коразмерности 1. В любой Б. а. $A$ с единицей $e$ можно так изменить норму на эквивалентную, чтобы в новой норме выполнялись соотношения $\|a b\| \leqslant\|a\|\|b\|,\|e\|=1$.

топологическая алгебра $A$ над полем комплексных чисел, топология которой определяется нормой, превращающей $\boldsymbol{A}$ в банахово пространство (полное нормированное векторное пространство), причем умножение элементов непрерывно по каждому из сомножителей. Б. а. называется коммутативной, если $x y=y x$ для всех $x, y \in A$. Б. а. $A$ называется алгеброй с единицей, если $A$ содержит такой элемент $e$, что $e x=x e=x$ для любого $x \in A$. Если в Б. а. $A$ нет единицы, то ее можно присоединить, то есть построить Б. а. $\tilde{A}$ с единицей такую, что $\tilde{A}$ содержит исходную алгебру $A$ в качестве замкнутой подалгебры коразмерности 1. В любой Б. а. $A$ с единицей $e$ можно так изменить норму на эквивалентную, чтобы в новой норме выполнялись соотношения $\|a b\| \leqslant\|a\|\|b\|,\|e\|=1$.