АВТОКОЛЕБАНИЯ

незатухающие колебания в нелинейной динамической системе, амплитуда и частота которых в течение длительного промежутка времени могут оставаться постоянными, не зависят в широких пределах от начальных условий и определяются свойствами самой системы. Динамич. системы, способные совершать А., называются автоколебательными системами. К таковым относятся часы, генераторы электрич. колебаний, электрич. звонок, духовые и смычковые музыкальные инструменты и т. п. При определенных условиях А. могут возникать и в динамич. системах, нормальным состоянием работы к-рых является отсутствие А. (напр., А. в передней подвеске автомобиля - «шимми»; флаттер крыла самолета, А. в системах автоматич. регулирования и управления). Простейшую автоколебательную систему можно представить состоящей из постоянного источника энергии, устройства, регулирующего поступление энергии в колебательную систему, и колебательной системы. Существенным является наличие обратной связи: регулирующее устройство, с одной стороны, управляет движением колебательной системы, а с другой - управление работой регулирующего устройства осуществляется движением колебательной системы. С математич. точки зрения, напр., автономные автоколебательные системы с одной степенью свободы можно определить как такие системы, уравнения движения к-рых характеризуются наличием на фазовой плоскости одного или нескольких предельных циклов. Важным характерным свойством А. является независимость их амплитуды в широких пределах от начальных условий, то есть существование одной или нескольких областей начальных условий таких, что любым начальным условиям, принадлежащим какой-либо из этих областей, будет соответствовать одна и та же амплитуда А. Это значит, что в колебательных системах может существовать несколько стационарных процессов с различными амплитудами, каждый из к-рых устанавливается в системе в зависимости от выбранной области начальных условий. Рассмотренное свойство является основным отличием периодич. движения в автоколебательной системе от периодич. движения в консервативной системе. Характерным свойством автоколебательных систем является также то, что период А. определяется свойствами самой системы, а не навязывается извне. Это - основное отличие А. от вынужденных колебаний. Для А. существенно то, что для восполнения потерь энергии должен существовать постоянный источник энергии, к-рый в автономной системе, не имеющей сил, явно зависящих от времени, должен создавать силу, не являющуюся заданной функцией времени и определяемую самой системой. Постоянными источниками энергии могут быть: заводной механизм в часах, вал, вращающийся с постоянной угловой скоростью, непрерывная движущаяся с постоянной скоростью лента, струя жидкости или газа, имеющая постоянную скорость, а в системах, где движущая сила электрич. ток, таким источником энергии является, напр., батарея. Примером простейшей автоколебательной системы может служить маятник, находящийся в среде с вязким трением, на к-рый действует постоянная по величине сила, всегда направленная в сторону движения. Дифференциальное уравнение этой динамич. системы имеет вид \[ \ddot{x}+2 h \dot{x}+k^{2} x=F \operatorname{sign} \dot{x}, \] где $h>0, F>0, k^{2}$ - постоянные коэффициенты. При любых начальных условиях в системе устанавливается периодич. движение, причем максимальное отклонение маятника от положения равновесия (амплитуда) равно \[ x_{0}=\frac{1+e^{-h T}}{1-e^{-h T}} \frac{F}{k^{2}} \] где $T=\pi / \sqrt{k^{2}-h^{2}}-$ полупериод периодич. движения. На фазовой плоскости $x \dot{x}$ этому движению соответствует устойчивый предельный цикл. Характерной особенностью всех автоколебательных систем является такая связь между постоянным источником энергии и системой, когда энергия, отдаваемая источником, периодически изменяется, причем период этого изменения определяется свойствами системы. Можно сказать, что автоколебательная система представляет собой систему, к-рая за счет непериодич. источника энергии создает периодич. процесс. А. могут быть по форме близки к гармоническим колебаниям, но могут и существенно отличаться от последних. А., существенно отличающиеся от гармонических, называются релаксационными. А., близкие по форме к гармоническим, обычно бывают в системах, потери энергии в к-рых за один период малы, и, следовательно, поступление энергии также мало. А., близкие по форме к гармоническим, могут быть и в том случае, когда потери в системе за один период велики, но при надлежащем подборе параметров происходит компенсация потерь не только за период, а и за каждую малую долю периода в отдельности. При релаксационных колебаниях обычно потери энергии велики и за период компенсируются почти всей энергией колебательной системы. Возникновение А. может быть «мягким» и «жестким». Мягкое возникновение А. характеризуется тем, что в системе, находящейся в положении устойчивого равновесия, при изменении какого-либо параметра возникают А., амплитуда к-рых непрерывно возрастает от нуля при непрерывном изменении параметра. При обратном изменении параметра амплитуда А. непрерывно уменьшается до нуля и состояние равновесия системы становится устойчивым. При жестком возникновении А. система при медленном и непрерывном изменении параметра переходит из состояния устойчивого равновесия к А. конечной амплитуды; при дальнейшем изменении параметра амплитуда возрастает уже равномерно. При обратном изменении параметра амплитуда непрерывно уменьшается до определенного значения, после чего система переходит к состоянию устойчивого равновесия. Существенно при этом, что система переходит к А. и от А. при различных значениях параметра. Автоколебательные системы обладают интересным и важным свойством - явлением принудительной синхронизации, называемым иногда «захватыванием». Оно состоит в том, что при достаточно малой разности между частотой автоколебательной системы и частотой внешней силы, действующей на эту систему, устойчивое периодич. движение системы приобретает частоту внешней силы, то есть внешняя сила навязывает свой темп автоколебательной системе. Лит.: [1] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; [2] Бутенин Н. В., Элементы теории нелинейных колебаний, Л., 1962; [3] Харкевич А. А., Автоколебания, М., 1953. Н. В. Бутенин.

незатухающие колебания в нелинейной динамической системе, амплитуда и частота которых в течение длительного промежутка времени могут оставаться постоянными, не зависят в широких пределах от начальных условий и определяются свойствами самой системы. Динамич. системы, способные совершать А., называются автоколебательными системами. К таковым относятся часы, генераторы электрич. колебаний, электрич. звонок, духовые и смычковые музыкальные инструменты и т. п. При определенных условиях А. могут возникать и в динамич. системах, нормальным состоянием работы к-рых является отсутствие А. (напр., А. в передней подвеске автомобиля - «шимми»; флаттер крыла самолета, А. в системах автоматич. регулирования и управления). Простейшую автоколебательную систему можно представить состоящей из постоянного источника энергии, устройства, регулирующего поступление энергии в колебательную систему, и колебательной системы. Существенным является наличие обратной связи: регулирующее устройство, с одной стороны, управляет движением колебательной системы, а с другой - управление работой регулирующего устройства осуществляется движением колебательной системы. С математич. точки зрения, напр., автономные автоколебательные системы с одной степенью свободы можно определить как такие системы, уравнения движения к-рых характеризуются наличием на фазовой плоскости одного или нескольких предельных циклов. Важным характерным свойством А. является независимость их амплитуды в широких пределах от начальных условий, то есть существование одной или нескольких областей начальных условий таких, что любым начальным условиям, принадлежащим какой-либо из этих областей, будет соответствовать одна и та же амплитуда А. Это значит, что в колебательных системах может существовать несколько стационарных процессов с различными амплитудами, каждый из к-рых устанавливается в системе в зависимости от выбранной области начальных условий. Рассмотренное свойство является основным отличием периодич. движения в автоколебательной системе от периодич. движения в консервативной системе. Характерным свойством автоколебательных систем является также то, что период А. определяется свойствами самой системы, а не навязывается извне. Это - основное отличие А. от вынужденных колебаний. Для А. существенно то, что для восполнения потерь энергии должен существовать постоянный источник энергии, к-рый в автономной системе, не имеющей сил, явно зависящих от времени, должен создавать силу, не являющуюся заданной функцией времени и определяемую самой системой. Постоянными источниками энергии могут быть: заводной механизм в часах, вал, вращающийся с постоянной угловой скоростью, непрерывная движущаяся с постоянной скоростью лента, струя жидкости или газа, имеющая постоянную скорость, а в системах, где движущая сила электрич. ток, таким источником энергии является, напр., батарея. Примером простейшей автоколебательной системы может служить маятник, находящийся в среде с вязким трением, на к-рый действует постоянная по величине сила, всегда направленная в сторону движения. Дифференциальное уравнение этой динамич. системы имеет вид \[ \ddot{x}+2 h \dot{x}+k^{2} x=F \operatorname{sign} \dot{x}, \] где $h>0, F>0, k^{2}$ - постоянные коэффициенты. При любых начальных условиях в системе устанавливается периодич. движение, причем максимальное отклонение маятника от положения равновесия (амплитуда) равно \[ x_{0}=\frac{1+e^{-h T}}{1-e^{-h T}} \frac{F}{k^{2}} \] где $T=\pi / \sqrt{k^{2}-h^{2}}-$ полупериод периодич. движения. На фазовой плоскости $x \dot{x}$ этому движению соответствует устойчивый предельный цикл. Характерной особенностью всех автоколебательных систем является такая связь между постоянным источником энергии и системой, когда энергия, отдаваемая источником, периодически изменяется, причем период этого изменения определяется свойствами системы. Можно сказать, что автоколебательная система представляет собой систему, к-рая за счет непериодич. источника энергии создает периодич. процесс. А. могут быть по форме близки к гармоническим колебаниям, но могут и существенно отличаться от последних. А., существенно отличающиеся от гармонических, называются релаксационными. А., близкие по форме к гармоническим, обычно бывают в системах, потери энергии в к-рых за один период малы, и, следовательно, поступление энергии также мало. А., близкие по форме к гармоническим, могут быть и в том случае, когда потери в системе за один период велики, но при надлежащем подборе параметров происходит компенсация потерь не только за период, а и за каждую малую долю периода в отдельности. При релаксационных колебаниях обычно потери энергии велики и за период компенсируются почти всей энергией колебательной системы. Возникновение А. может быть «мягким» и «жестким». Мягкое возникновение А. характеризуется тем, что в системе, находящейся в положении устойчивого равновесия, при изменении какого-либо параметра возникают А., амплитуда к-рых непрерывно возрастает от нуля при непрерывном изменении параметра. При обратном изменении параметра амплитуда А. непрерывно уменьшается до нуля и состояние равновесия системы становится устойчивым. При жестком возникновении А. система при медленном и непрерывном изменении параметра переходит из состояния устойчивого равновесия к А. конечной амплитуды; при дальнейшем изменении параметра амплитуда возрастает уже равномерно. При обратном изменении параметра амплитуда непрерывно уменьшается до определенного значения, после чего система переходит к состоянию устойчивого равновесия. Существенно при этом, что система переходит к А. и от А. при различных значениях параметра. Автоколебательные системы обладают интересным и важным свойством - явлением принудительной синхронизации, называемым иногда «захватыванием». Оно состоит в том, что при достаточно малой разности между частотой автоколебательной системы и частотой внешней силы, действующей на эту систему, устойчивое периодич. движение системы приобретает частоту внешней силы, то есть внешняя сила навязывает свой темп автоколебательной системе. Лит.: [1] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; [2] Бутенин Н. В., Элементы теории нелинейных колебаний, Л., 1962; [3] Харкевич А. А., Автоколебания, М., 1953. Н. В. Бутенин.