КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИСА УРАВНЕНИЕ

нелинейное дифференциальное уравнение \[ u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0 \text {, } \] представляющее собой универсальную модель для описания одномерных нелинейных волн в средах с дисперсией без диссипации, в которых закон дисперсии для линейных волн описывается двумя членами разложения по степеням волнового числа $k$: \[ \omega=s k\left(1+\varepsilon k^{2}\right) \text {. } \] Предложено Д. Кортевегом (D. Korteweg) и Г. де Фрисом (G. de Vries) в 1895 в связи с задачей о волнах на поверхности жидкости. К.- де Ф. у. описывает магнитозвуковые и ионно-звуковые волны в плазме, акустич. волны в кристаллах, поверхностные и внутренние волны в океане. Для К.- де Ф. у. найдены точные решения различного вида, одно из основных - солитон, или уединенная волна: \[ u=2 x^{2} \operatorname{ch}^{-2}\left[x\left(x-4 x^{2} t-x_{0}\right)\right] \] амплитуда солитона $x^{2}$ и положение его центра $x_{0}$ - произвольные постоянные. Убывающее при $x \rightarrow \pm \infty$ начальное возмущение, эволюционируя согласно К.- де Ф. у., распадается на ряд невзаимодействующих солитонов, распространяющихся влево, и на осциллирующий и затухающий фон, распространяющийся вправо. Поведение решения при $t \rightarrow \infty$ вычисляется по начальным данным. При помощи обратной задачи рассеяния метода можно найти для К.- де Ф. у. бесконечные наборы точных решений; простейшим является $N$-солитонное: \[ u=2 \partial^{2} \ln \Delta \partial x^{2} \] где $\Delta$ - определитель матрицы \[ \Delta_{i j}=\delta_{i j}+M_{i}^{2}\left(x_{i}+x_{j}\right)^{-1} \exp \left[-\left(x_{i}+x_{j}\right) x+8 x_{i}^{3} t\right], \] $x_{i}, M_{i}, i=1,2, \ldots, N,-$ произвольные постоянные, $\delta_{i j}-$ единичная матрица. При $t \rightarrow \pm \infty N$-солитонное решение распадается на $N$ свободных солитонов с параметрами $x_{i}$. В процессе взаимодействия солитоны испытывают упругие столкновения, приводящие к сдвигу их центров. Полный сдвиг каждого солитона равен сумме сдвигов при парных столкновениях. Простейшим периодич. решением является бегущая кноидальная волна, описываемая эллиптич. косинусом $\mathrm{cn}(x-c t)$, с чем и связано ее название: \[ \left(x-c t-x_{0}\right)=\int\left(2 E+c u^{2}-2 u^{3}\right)^{-1 / 2} d u, \] здесь $c, E$ - параметры волны. При $E \rightarrow 0$ кноидальная волна переходит в набор периодически расположенных солитонов. К.- де Ф. у. имеет бесконечный набор интегралов движения: \[ I_{n}=\int P_{n}\left(u, u_{x}, \ldots\right) d x, \quad n=0,1,2, \ldots, \] где $P_{n}-$ многочлен от функции $u$ и ее производных; в частности, \[ P_{0}=u ; P_{1}=u^{2} ; P_{2}=u^{3}-u_{x}^{2} / 2 ; P_{3}=\left(u_{x x}^{2}+5 u u_{x}+5 u^{2}\right) / 2 . \] При помощи функциональной производной $\delta / \delta u$ К.- де Ф. у. можно записать в виде \[ u_{t}+(\partial / \partial x) \delta I_{2} / \delta u=0, \] откуда следует, что она является гамильтоновой системой с функцией Гамильтона $I_{2}$ и скобкой Пуассона \[ \{\alpha, \beta\}=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\delta \alpha}{\delta u} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta \beta}{\delta u}-\frac{\delta \beta}{\delta u} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta \alpha}{\delta u}\right) d x . \] Поскольку $\left\{I_{n}, I_{m}\right\}=0$, можно показать, что К.- де Ф. у. интегрируемая гамильтонова система, и явно ввести переменные: действие - угол. Гамильтонова структура (1) не является единственной, выбором скобок Пуассона можно сделать функцией Гамильтона любой из интегралов $I_{n}$. Рассматривают также «высшие К.- де Ф. у.»: \[ u_{t}+(\partial / \partial x) \delta I_{n} / \delta u=0, n=3,4, \ldots \] их свойства аналогичны свойствам обычного К.- де Ф. у. В диссипативных средах К.- де Ф. у. переходит в Бюргерса - Кортевега - де Фриса уравнение \[ u_{t}+6 u u_{x}+u_{x x x}=v u_{x x} \] к к-рому (в отличие от К.- де Ф. у. и Бюргерса уравнения) точные методы не применимы. Стационарные решения уравнения (2) описывают структуру ударных волн в средах с дисперсией, в частности бесстолкновительных ударных волн в плазме. В двумерном случае К.- де Ф. у. переходит в Кадомцева - Петвиашвили уравнение.

нелинейное дифференциальное уравнение \[ u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0 \text {, } \] представляющее собой универсальную модель для описания одномерных нелинейных волн в средах с дисперсией без диссипации, в которых закон дисперсии для линейных волн описывается двумя членами разложения по степеням волнового числа $k$: \[ \omega=s k\left(1+\varepsilon k^{2}\right) \text {. } \] Предложено Д. Кортевегом (D. Korteweg) и Г. де Фрисом (G. de Vries) в 1895 в связи с задачей о волнах на поверхности жидкости. К.- де Ф. у. описывает магнитозвуковые и ионно-звуковые волны в плазме, акустич. волны в кристаллах, поверхностные и внутренние волны в океане. Для К.- де Ф. у. найдены точные решения различного вида, одно из основных - солитон, или уединенная волна: \[ u=2 x^{2} \operatorname{ch}^{-2}\left[x\left(x-4 x^{2} t-x_{0}\right)\right] \] амплитуда солитона $x^{2}$ и положение его центра $x_{0}$ - произвольные постоянные. Убывающее при $x \rightarrow \pm \infty$ начальное возмущение, эволюционируя согласно К.- де Ф. у., распадается на ряд невзаимодействующих солитонов, распространяющихся влево, и на осциллирующий и затухающий фон, распространяющийся вправо. Поведение решения при $t \rightarrow \infty$ вычисляется по начальным данным. При помощи обратной задачи рассеяния метода можно найти для К.- де Ф. у. бесконечные наборы точных решений; простейшим является $N$-солитонное: \[ u=2 \partial^{2} \ln \Delta \partial x^{2} \] где $\Delta$ - определитель матрицы \[ \Delta_{i j}=\delta_{i j}+M_{i}^{2}\left(x_{i}+x_{j}\right)^{-1} \exp \left[-\left(x_{i}+x_{j}\right) x+8 x_{i}^{3} t\right], \] $x_{i}, M_{i}, i=1,2, \ldots, N,-$ произвольные постоянные, $\delta_{i j}-$ единичная матрица. При $t \rightarrow \pm \infty N$-солитонное решение распадается на $N$ свободных солитонов с параметрами $x_{i}$. В процессе взаимодействия солитоны испытывают упругие столкновения, приводящие к сдвигу их центров. Полный сдвиг каждого солитона равен сумме сдвигов при парных столкновениях. Простейшим периодич. решением является бегущая кноидальная волна, описываемая эллиптич. косинусом $\mathrm{cn}(x-c t)$, с чем и связано ее название: \[ \left(x-c t-x_{0}\right)=\int\left(2 E+c u^{2}-2 u^{3}\right)^{-1 / 2} d u, \] здесь $c, E$ - параметры волны. При $E \rightarrow 0$ кноидальная волна переходит в набор периодически расположенных солитонов. К.- де Ф. у. имеет бесконечный набор интегралов движения: \[ I_{n}=\int P_{n}\left(u, u_{x}, \ldots\right) d x, \quad n=0,1,2, \ldots, \] где $P_{n}-$ многочлен от функции $u$ и ее производных; в частности, \[ P_{0}=u ; P_{1}=u^{2} ; P_{2}=u^{3}-u_{x}^{2} / 2 ; P_{3}=\left(u_{x x}^{2}+5 u u_{x}+5 u^{2}\right) / 2 . \] При помощи функциональной производной $\delta / \delta u$ К.- де Ф. у. можно записать в виде \[ u_{t}+(\partial / \partial x) \delta I_{2} / \delta u=0, \] откуда следует, что она является гамильтоновой системой с функцией Гамильтона $I_{2}$ и скобкой Пуассона \[ \{\alpha, \beta\}=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\delta \alpha}{\delta u} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta \beta}{\delta u}-\frac{\delta \beta}{\delta u} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta \alpha}{\delta u}\right) d x . \] Поскольку $\left\{I_{n}, I_{m}\right\}=0$, можно показать, что К.- де Ф. у. интегрируемая гамильтонова система, и явно ввести переменные: действие - угол. Гамильтонова структура (1) не является единственной, выбором скобок Пуассона можно сделать функцией Гамильтона любой из интегралов $I_{n}$. Рассматривают также «высшие К.- де Ф. у.»: \[ u_{t}+(\partial / \partial x) \delta I_{n} / \delta u=0, n=3,4, \ldots \] их свойства аналогичны свойствам обычного К.- де Ф. у. В диссипативных средах К.- де Ф. у. переходит в Бюргерса - Кортевега - де Фриса уравнение \[ u_{t}+6 u u_{x}+u_{x x x}=v u_{x x} \] к к-рому (в отличие от К.- де Ф. у. и Бюргерса уравнения) точные методы не применимы. Стационарные решения уравнения (2) описывают структуру ударных волн в средах с дисперсией, в частности бесстолкновительных ударных волн в плазме. В двумерном случае К.- де Ф. у. переходит в Кадомцева - Петвиашвили уравнение.