КОШИ ЗАДАЧА

задача о нахождении решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными), удовлетворяющего начальным условиям. Рассмотрена О. Коши (A. Cauchy, 1823-24). Примером К. з. может служить основная задача механики, когда по известным начальным положениям и скоростям частиц требуется при известном законе взаимодействия между ними определить движение частиц во времени. Поскольку уравнения математич. физики, для к-рых ставится К. з., описывают реальные процессы, то естественно потребовать существования решения в определенном классе функций, его единственности, непрерывной зависимости решения от начальных данных. Даже в случае простейшей К. з. \[ d y / d x=f(x, y), y\left(x_{0}\right)=y_{0}, \] где $f(x, y)$ - заданная функция, выполнение этих требований накладывает ограничения на вид функции $f(x, y)$. Аналогично ставится К. з. для систем обыкновенных дифференциальных уравнений; при этом $y(x)$ и $f(x, y)$ вектор-функции в каком-либо векторном пространстве. Поскольку обыкновенное дифференциальное уравнение порядка $n$ сводится к системе уравнений первого порядка, К. з. для него фиксирует начальные значения для производных искомой функции вплоть до $n-1$ порядка. Для дифференциальных уравнений с частными производными в $(n+1)$-мерном пространстве-времени К. з. фиксирует начальные значения функции (и ее $k-1$ производных, если $k$ - порядок уравнения по времени) на $n$-мерной поверхности. Напр., для волнового уравнения \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=0 \] решение К. з. с начальными данными: \[ u(x, 0)=\varphi(x), \partial u(x, t) /\left.\partial t\right|_{t=0}=\pi(x), \] где $\varphi(x), \pi(x)$ - достаточно гладкие функции, дается при $n=1,2,3$ Д'Аламбера формулой, Пуассона формулой и Кирхгофа формулой. При этом решение непрерывно зависит от функций $\varphi$ и $\pi$. Для уравнения с частными производными требуется, чтобы К. з. была корректно поставлена. Напр., для волнового уравнения К. з. корректно поставлена в случае, если начальные данные заданы либо на гиперплоскости $t=0$, либо на любой пространственноподобной поверхности, для к-рой \[ \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-c^{2} t^{2}>0 \] Лит.: [1] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [2] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; [3] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1984; [4] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1982. С. В. Молодцов.

задача о нахождении решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными), удовлетворяющего начальным условиям. Рассмотрена О. Коши (A. Cauchy, 1823-24). Примером К. з. может служить основная задача механики, когда по известным начальным положениям и скоростям частиц требуется при известном законе взаимодействия между ними определить движение частиц во времени. Поскольку уравнения математич. физики, для к-рых ставится К. з., описывают реальные процессы, то естественно потребовать существования решения в определенном классе функций, его единственности, непрерывной зависимости решения от начальных данных. Даже в случае простейшей К. з. \[ d y / d x=f(x, y), y\left(x_{0}\right)=y_{0}, \] где $f(x, y)$ - заданная функция, выполнение этих требований накладывает ограничения на вид функции $f(x, y)$. Аналогично ставится К. з. для систем обыкновенных дифференциальных уравнений; при этом $y(x)$ и $f(x, y)$ вектор-функции в каком-либо векторном пространстве. Поскольку обыкновенное дифференциальное уравнение порядка $n$ сводится к системе уравнений первого порядка, К. з. для него фиксирует начальные значения для производных искомой функции вплоть до $n-1$ порядка. Для дифференциальных уравнений с частными производными в $(n+1)$-мерном пространстве-времени К. з. фиксирует начальные значения функции (и ее $k-1$ производных, если $k$ - порядок уравнения по времени) на $n$-мерной поверхности. Напр., для волнового уравнения \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=0 \] решение К. з. с начальными данными: \[ u(x, 0)=\varphi(x), \partial u(x, t) /\left.\partial t\right|_{t=0}=\pi(x), \] где $\varphi(x), \pi(x)$ - достаточно гладкие функции, дается при $n=1,2,3$ Д'Аламбера формулой, Пуассона формулой и Кирхгофа формулой. При этом решение непрерывно зависит от функций $\varphi$ и $\pi$. Для уравнения с частными производными требуется, чтобы К. з. была корректно поставлена. Напр., для волнового уравнения К. з. корректно поставлена в случае, если начальные данные заданы либо на гиперплоскости $t=0$, либо на любой пространственноподобной поверхности, для к-рой \[ \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-c^{2} t^{2}>0 \] Лит.: [1] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [2] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; [3] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1984; [4] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1982. С. В. Молодцов.