КОШИ ЗАДАЧА

высокочастотная асимптотика решения - представление решения эволюционного уравнения \[ \left(-i h \frac{\partial}{\partial t}+H\left(-i h \frac{\partial}{\partial x}, x, t, h\right)\right) u=0 \] с быстроосциллирующими начальными данными вида $b(x) \exp (i \varphi(x) / h)$, где $h>0$ - малый параметр, сравнительно простым выражением с точностью до слагаемого, имеющего определенное (обычно степенное) убывание при $h \rightarrow 0$. В случае вещественных собственных значений символа $H_{0}(p, x, t)=H(p, x, t, 0)$ асимптотика решения К. з. для малых $t$ получается методом Люнебурга - Лакса - Людвига (см. [1]), возникшего в квантовой механике под названием ВКБ-метода. Пусть, напр., дана строго гиперболич. система \[ \frac{\partial u}{\partial t}-\sum_{j=1}^{n} A_{j} \frac{\partial u}{\partial x_{j}}+B u=0 \] где $H(p, x, t, h)=-\sum_{j=1}^{n} A_{j}(x, t) p_{j}-i h B(x, t), \quad x \in \mathbb{R}^{n}, \quad u \in \mathbb{R}^{m}$, символ $H$ имеет при $p \neq 0$ различные вещественные собственные значения $\lambda_{k}(p, x, t)$. Асимптотика решения К. з. строится как частичная сумма ряда \[ \sum_{k=1}^{m} \sum_{j=0}^{\infty}(-i h)^{j} a_{k j}(x, t) \exp \left(i S_{k}(x, t) / h\right) . \] Подстановка этого ряда в рассматриваемое уравнение и приравнивание нулю коэффициентов при $(-i h)^{j} \exp \left(i S_{k} / h\right)$ дает для каждого $k$ цепочку соотношений где \[ M_{k} a_{k 0}=0, L a_{k j}=M_{k} a_{k j-1}, j>0, \] \[ M_{k}=\partial S_{k} / \partial t+H_{0}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right), \] а $L$ - линейный дифференциальный оператор 1-го порядка. Первое из них означает, что $a_{k 0}-$ собственный вектор матрицы $H_{0}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right)$. Приравнивание $\lambda_{k}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right)$ соответствующему собственному значению дает характеристич. уравнение \[ \partial S_{k} / \partial t+\lambda_{k}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right)=0 . \] Его решение, удовлетворяющее начальному условию $S_{k}(x, 0)=\varphi(x)$, является производящей функцией семейства лагранжевых многообразий $\Lambda_{k}(t)=g_{k}^{t} \Lambda_{k}(0)$, где $g_{k}^{t}-$ фазовый поток нестационарного гамильтонова векторного поля $X_{k}$ с гамильтонианом $\lambda_{k}$. Пусть $a_{k j}=\alpha_{k j} v_{k}$, где $v_{k}(x, t)-$ собственный вектор матрицы $H_{0}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right)$ с собственным значением $\lambda_{k}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right)$. Тогда соотношение $L a_{k j}=M_{k} a_{k j-1}$ превращается в дифференциальное уравнение для $\alpha_{k j}$ - так наз. уравнение переноса. Уравнение переноса, поднятое на $\Lambda_{k}(t)$, является обыкновенным дифференциальным уравнением вдоль интегральных кривых поля $X_{k}$. Построенная асимптотика представима как результат применения канонич. оператора Маслова к соответствующим функциям на $\Lambda_{k}(t)$ (см. [2]). Это дает продолжение асимптотики на любой отрезок времени. Асимптотика решения К. з. строится также для комплексной начальной фазы $\varphi$ и комплексных собственных значений символа с помощью комплексного ростка (см. [3], [4]). Лит.: [1] Гийемин В., Стернберг С., Геометрические асимптотики, пер. с англ., М., 1981; [2] Мищенко А.С., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е., Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, М., 1978; [3] Маслов В.П., Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений, М., 1987; [4] Воропаева Г.А., Дубнов В.Л., Маслов В. П., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения, т. 31, М., 1987, с. 93-192.

высокочастотная асимптотика решения - представление решения эволюционного уравнения \[ \left(-i h \frac{\partial}{\partial t}+H\left(-i h \frac{\partial}{\partial x}, x, t, h\right)\right) u=0 \] с быстроосциллирующими начальными данными вида $b(x) \exp (i \varphi(x) / h)$, где $h>0$ - малый параметр, сравнительно простым выражением с точностью до слагаемого, имеющего определенное (обычно степенное) убывание при $h \rightarrow 0$. В случае вещественных собственных значений символа $H_{0}(p, x, t)=H(p, x, t, 0)$ асимптотика решения К. з. для малых $t$ получается методом Люнебурга - Лакса - Людвига (см. [1]), возникшего в квантовой механике под названием ВКБ-метода. Пусть, напр., дана строго гиперболич. система \[ \frac{\partial u}{\partial t}-\sum_{j=1}^{n} A_{j} \frac{\partial u}{\partial x_{j}}+B u=0 \] где $H(p, x, t, h)=-\sum_{j=1}^{n} A_{j}(x, t) p_{j}-i h B(x, t), \quad x \in \mathbb{R}^{n}, \quad u \in \mathbb{R}^{m}$, символ $H$ имеет при $p \neq 0$ различные вещественные собственные значения $\lambda_{k}(p, x, t)$. Асимптотика решения К. з. строится как частичная сумма ряда \[ \sum_{k=1}^{m} \sum_{j=0}^{\infty}(-i h)^{j} a_{k j}(x, t) \exp \left(i S_{k}(x, t) / h\right) . \] Подстановка этого ряда в рассматриваемое уравнение и приравнивание нулю коэффициентов при $(-i h)^{j} \exp \left(i S_{k} / h\right)$ дает для каждого $k$ цепочку соотношений где \[ M_{k} a_{k 0}=0, L a_{k j}=M_{k} a_{k j-1}, j>0, \] \[ M_{k}=\partial S_{k} / \partial t+H_{0}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right), \] а $L$ - линейный дифференциальный оператор 1-го порядка. Первое из них означает, что $a_{k 0}-$ собственный вектор матрицы $H_{0}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right)$. Приравнивание $\lambda_{k}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right)$ соответствующему собственному значению дает характеристич. уравнение \[ \partial S_{k} / \partial t+\lambda_{k}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right)=0 . \] Его решение, удовлетворяющее начальному условию $S_{k}(x, 0)=\varphi(x)$, является производящей функцией семейства лагранжевых многообразий $\Lambda_{k}(t)=g_{k}^{t} \Lambda_{k}(0)$, где $g_{k}^{t}-$ фазовый поток нестационарного гамильтонова векторного поля $X_{k}$ с гамильтонианом $\lambda_{k}$. Пусть $a_{k j}=\alpha_{k j} v_{k}$, где $v_{k}(x, t)-$ собственный вектор матрицы $H_{0}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right)$ с собственным значением $\lambda_{k}\left(\partial S_{k} / \partial x, x, t\right)$. Тогда соотношение $L a_{k j}=M_{k} a_{k j-1}$ превращается в дифференциальное уравнение для $\alpha_{k j}$ - так наз. уравнение переноса. Уравнение переноса, поднятое на $\Lambda_{k}(t)$, является обыкновенным дифференциальным уравнением вдоль интегральных кривых поля $X_{k}$. Построенная асимптотика представима как результат применения канонич. оператора Маслова к соответствующим функциям на $\Lambda_{k}(t)$ (см. [2]). Это дает продолжение асимптотики на любой отрезок времени. Асимптотика решения К. з. строится также для комплексной начальной фазы $\varphi$ и комплексных собственных значений символа с помощью комплексного ростка (см. [3], [4]). Лит.: [1] Гийемин В., Стернберг С., Геометрические асимптотики, пер. с англ., М., 1981; [2] Мищенко А.С., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е., Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, М., 1978; [3] Маслов В.П., Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений, М., 1987; [4] Воропаева Г.А., Дубнов В.Л., Маслов В. П., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения, т. 31, М., 1987, с. 93-192.