КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

основная задача теории потенциала. Поскольку ньютонов потенциал и логарифмический потенциал удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям с частными производными эллиптич. типа, а именно Лапласа уравнению в областях, свободных от порождающих эти потенциалы масс, и Пуассона уравнению в областях, занятых массами, к числу к. з. теории потенциала относят в первую очередь краевые задачи для эллиптич. уравнений и систем. 1) Дирихле задача, или первая краевая задача, когда требуется найти потенциал $u(x)$ в нек-рой области $D$ по заданным его непрерывным значениям \[ u(x)=f(x), x \in \Gamma, \] на границе области $\partial D=\Gamma$, причем распределение масс внутри $D$ предполагается известным. Эта задача в теории потенциала является основной. 2) Неймана задача, или вторая краевая задача, когда требуется найти потенциал в $D$ по заданным непрерывным значениям его нормальной производной \[ \frac{\partial u(x)}{\partial n}=\varphi(x), x \in \Gamma . \] 3) Смешанная задача, или третья краевая задача, когда на Г задается линейная комбинация \[ \frac{\partial u(x)}{\partial n}+\alpha(x) u(x)=\psi(x), \quad x \in \Gamma . \] 4) Задача с косой производной, когда на Г в условии $(*)$ вместо производной по нормали $\partial u(x) / \partial n \mathrm{~K} \Gamma$ фигурирует производная $\partial u(x) / \partial l$ по произвольному, вообще говоря, направлению $l=l(x), x \in \Gamma . \quad$ Е. Д. Соломенцев.

основная задача теории потенциала. Поскольку ньютонов потенциал и логарифмический потенциал удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям с частными производными эллиптич. типа, а именно Лапласа уравнению в областях, свободных от порождающих эти потенциалы масс, и Пуассона уравнению в областях, занятых массами, к числу к. з. теории потенциала относят в первую очередь краевые задачи для эллиптич. уравнений и систем. 1) Дирихле задача, или первая краевая задача, когда требуется найти потенциал $u(x)$ в нек-рой области $D$ по заданным его непрерывным значениям \[ u(x)=f(x), x \in \Gamma, \] на границе области $\partial D=\Gamma$, причем распределение масс внутри $D$ предполагается известным. Эта задача в теории потенциала является основной. 2) Неймана задача, или вторая краевая задача, когда требуется найти потенциал в $D$ по заданным непрерывным значениям его нормальной производной \[ \frac{\partial u(x)}{\partial n}=\varphi(x), x \in \Gamma . \] 3) Смешанная задача, или третья краевая задача, когда на Г задается линейная комбинация \[ \frac{\partial u(x)}{\partial n}+\alpha(x) u(x)=\psi(x), \quad x \in \Gamma . \] 4) Задача с косой производной, когда на Г в условии $(*)$ вместо производной по нормали $\partial u(x) / \partial n \mathrm{~K} \Gamma$ фигурирует производная $\partial u(x) / \partial l$ по произвольному, вообще говоря, направлению $l=l(x), x \in \Gamma . \quad$ Е. Д. Соломенцев.