КРИВИЗНА

собирательное название ряда количественных характеристик (численных, векторных, тензорных), описывающих отклонение свойств того или иного объекта (кривой, поверхности, риманова пространства) от соответствующих объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и др.), которые считаются плоскими. Обычно понятия К. вводятся локально, то есть в каждой точке. Эти понятия К. связаны с рассмотрением отклонений 2-го порядка малости, поэтому предполагается задание изучаемого объекта гладкими функциями. В ряде случаев вводят интегральные понятия, к-рые сохраняются и при отказе от условия гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль К. во всех точках приводит к совпадению (на малых участках, но не в целом) изучаемого объекта с «плоским» объектом. При рассмотрении поверхности $S$ или кривой $L$, помещенных в 3-мерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{3}$, можно говорить о внешней $\mathrm{K}$. этих геометрич. образов (то есть о К. по отношению к вмещающему их пространству $\mathbb{R}^{3}$ ). С другой стороны, во многих вопросах естественно рассматривать внутреннюю К. $S$ (или $L$ ), к-рая может быть обнаружена путем измерений только на $S$ (или на $L$ ). Зная метрич. соотношения в пространстве, мы знаем их и на поверхности (и на кривой), и в этом смысле внешняя К. дает более полную информацию, чем внутренняя. Однако в том случае, когда о вмещающем пространстве нам заранее ничего не известно (как это случается при изучении римановых пространств, в частности, в теории относительности), рассмотрение внутренней К. приобретает первостепенный интерес. Кривизна (внешняя) кривой $L$ есть скорость изменения направления кривой, то есть \[ \boldsymbol{k}=\frac{d \tau}{d s} \] где $\tau$ - касательный единичный вектор, $s-$ длина дуги. Таким образом, кривизна $\boldsymbol{k}$ есть вектор, направленный перпендикулярно к кривой. Для плоской кривой модуль $|\boldsymbol{k}|=k$ равен абсолютной величине производной \[ \frac{d \theta(s)}{d s}=k \] где $\theta$ - угол, образованный касательной к кривой с осью абсцисс, и представляет собой, следовательно, скорость вращения касательной. Величина, обратная $k$, именуется радиусом кривизны. Внутреннюю К. кривой $L$ обычно не определяют: на кривой можно измерять только длины, поэтому внутренние измерения не позволяют отличить $L$ от прямой. Внешняя кривизна поверхности $S$ в точке есть мера уклонения $S$ от касательной плоскости и дается тензором $h_{i k}$ второй квадратичной формы поверхности. Полное свертывание этого тензора с единичным вектором заданного на поверхности направления дает $\mathrm{K}$. соответствующего нормального сечения. Этот тензор геометрически характеризуется также главными взаимно перпендикулярными направлениями $\boldsymbol{t}_{1}, \boldsymbol{t}_{2}$, по к-рым К. таких сечений имеет экстремальные значения: \[ k_{1}=\frac{1}{R_{1}}, \quad k_{2}=\frac{1}{R_{2}} . \] К. в направлении, составляющем угол $\theta$ с $t_{1}$, определяется по формуле: \[ k=k_{1} \cos ^{2} \theta+k_{2} \sin ^{2} \theta . \] Величина $K=k_{1} k_{2}=\frac{1}{R_{1} R_{2}}$ именуется гауссовой, или полной, кривизной поверхности. Внутренняя кривизна поверхности. Пусть метрич. форма поверхности $S$ имеет вид \[ \begin{gathered} d s^{2}=g_{11}\left(u^{1}, u^{2}\right)\left(d u^{1}\right)^{2}+2 g_{12}\left(u^{1}, u^{2}\right) d u^{1} d u^{2}+ \\ +g_{22}\left(u^{1}, u^{2}\right)\left(d u^{2}\right)^{2}=g_{i k} d u^{i} d u^{k} . \end{gathered} \] На поверхности $S$ можно измерять длины, площади, а также углы между гладкими кривыми, исходящими из одной точки. Однако обычное понятие параллельности двух векторов на поверхности нуждается в уточнении. Дело в том, что параллельное в обычном смысле перенесение вектора, принадлежащего поверхности (касательного к поверхности) из заданной точки $S$ в другую, дает вектор, не лежащий на поверхности (не касательный к поверхности), а такой вектор, с точки зрения внутренних измерений, не может быть охарактеризован. Оказывается естественным рассматривать следующий процесс: исходный вектор скользит параллельно самому себе по нек-рой кривой $L\left\{u^{i}=u^{i}(t)\right\}$, одновременно проектируясь на касательную плоскость, и, таким образом, в каждой точке кривой получается вектор $\boldsymbol{a}$, лежащий на поверхности (длина вектора при этом не меняется). Конечный вектор может быть найден из системы уравнений \[ \frac{d a^{i}}{d t}+\Gamma_{j k}^{i} a^{j} \frac{d u^{k}}{d t}=0 \] (где $\Gamma_{j k}^{i}-$ Кристоффеля символы), то есть использованием только внутренних характеристик поверхности, и про него говорят, что он получен из исходного в результате внутреннего параллельного переноса вдоль кривой $L$. При обходе замкнутого контура и возвращении в исходную точку перенесенный вектор, вообще говоря, не совпадает с исходным, а образует с ним угол $\varphi$. Внутренней кривизной поверхности $S$ в точке $M$ называется предел \[ \lim \varphi / \sigma=K \] (где $\sigma-$ площадь, ограниченная контуром) при стягивании контура в точке $M$. Внутренняя К. поверхности совпадает с полной $\mathrm{K}$. Риманова кривизна. Риманова геометрия развертывается в результате задания в изучаемом пространстве $R_{n}$ расстояния между бесконечно близкими точками \[ d s^{2}=g_{i k} d x^{i} d x^{k} \] Объектом изучения являются внутренние свойства пространства, то есть свойства, к-рые могут быть получены из линейного элемента (2). Естественным образом появляется понятие длины, площади, угла. Как и в случае поверхности, возникает необходимость определить понятие параллельного переноса вектора и делается это, по существу, на основании аналогичных соображений; формально можно пользоваться уравнениями (1), где \[ \Gamma_{j k}^{i}=\frac{1}{2} g^{i s}\left(\frac{\partial g_{s j}}{\partial x^{k}}+\frac{\partial g_{s k}}{\partial x^{i}}-\frac{\partial g_{i k}}{\partial x^{s}}\right) \] Пусть $S$ - двумерная плоскость в $R_{n}$, имеющая в точке $M$ направление, определяемое касательными единичными векторами $\xi^{i}$ и $\eta^{i}$ (взаимно перпендикулярными). Совершая внутренний параллельный перенос вектора, принадлежащего $S$, вокруг точки $M$, опять приходят к рассмотрению отношения $\varphi / \sigma$ ( $\varphi$ - угол между исходным вектором и проекцией конечного вектора на $S, \sigma-$ величина площадки на $S$, охваченной контуром, по к-рому производится перенос); предел этого отношения называется кривизной пространства $R_{n}$ в точке $M$ в заданном двумерном направлении. Подсчеты показывают, что \[ \lim \varphi / \sigma=R_{i j k l} x^{i j} x^{k l} \] где $x^{i j}=1 / 2\left(\xi^{i} \eta^{j}-\xi^{j} \eta^{i}\right)-$ бивектор, характеризующий двумерное направление (нормаль к поверхности $S$ ). Появляющийся при этом тензор $R_{i j k l}$ называется ковариантным тензором кривизны, он имеет выражение \[ \begin{gathered} R_{i j k l}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{2} g_{i k}}{\partial x^{j} \partial x^{l}}+\frac{\partial^{2} g_{j l}}{\partial x^{i} \partial x^{k}}-\frac{\partial^{2} g_{i l}}{\partial x^{j} \partial x^{k}}-\frac{\partial^{2} g_{j k}}{\partial x^{j} \partial x^{k}}\right)- \\ -g_{r s}\left(\Gamma_{j k}^{r} \Gamma_{i l}^{s}-\Gamma_{j l}^{r} \Gamma_{i k}^{s}\right) . \end{gathered} \] Из тензора $R_{i j k l}$ свертыванием с метрич. тензором $g^{i k}$ может быть получен тензор Риччи \[ R_{j l}=g^{i k} R_{i j k l} \] играющий важную роль в теории относительности. Вторичным свертыванием из $R_{j l}$ получается инвариант $R=g^{j l} R_{j l}$, именуемый скалярной кривизной.

собирательное название ряда количественных характеристик (численных, векторных, тензорных), описывающих отклонение свойств того или иного объекта (кривой, поверхности, риманова пространства) от соответствующих объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и др.), которые считаются плоскими. Обычно понятия К. вводятся локально, то есть в каждой точке. Эти понятия К. связаны с рассмотрением отклонений 2-го порядка малости, поэтому предполагается задание изучаемого объекта гладкими функциями. В ряде случаев вводят интегральные понятия, к-рые сохраняются и при отказе от условия гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль К. во всех точках приводит к совпадению (на малых участках, но не в целом) изучаемого объекта с «плоским» объектом. При рассмотрении поверхности $S$ или кривой $L$, помещенных в 3-мерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{3}$, можно говорить о внешней $\mathrm{K}$. этих геометрич. образов (то есть о К. по отношению к вмещающему их пространству $\mathbb{R}^{3}$ ). С другой стороны, во многих вопросах естественно рассматривать внутреннюю К. $S$ (или $L$ ), к-рая может быть обнаружена путем измерений только на $S$ (или на $L$ ). Зная метрич. соотношения в пространстве, мы знаем их и на поверхности (и на кривой), и в этом смысле внешняя К. дает более полную информацию, чем внутренняя. Однако в том случае, когда о вмещающем пространстве нам заранее ничего не известно (как это случается при изучении римановых пространств, в частности, в теории относительности), рассмотрение внутренней К. приобретает первостепенный интерес. Кривизна (внешняя) кривой $L$ есть скорость изменения направления кривой, то есть \[ \boldsymbol{k}=\frac{d \tau}{d s} \] где $\tau$ - касательный единичный вектор, $s-$ длина дуги. Таким образом, кривизна $\boldsymbol{k}$ есть вектор, направленный перпендикулярно к кривой. Для плоской кривой модуль $|\boldsymbol{k}|=k$ равен абсолютной величине производной \[ \frac{d \theta(s)}{d s}=k \] где $\theta$ - угол, образованный касательной к кривой с осью абсцисс, и представляет собой, следовательно, скорость вращения касательной. Величина, обратная $k$, именуется радиусом кривизны. Внутреннюю К. кривой $L$ обычно не определяют: на кривой можно измерять только длины, поэтому внутренние измерения не позволяют отличить $L$ от прямой. Внешняя кривизна поверхности $S$ в точке есть мера уклонения $S$ от касательной плоскости и дается тензором $h_{i k}$ второй квадратичной формы поверхности. Полное свертывание этого тензора с единичным вектором заданного на поверхности направления дает $\mathrm{K}$. соответствующего нормального сечения. Этот тензор геометрически характеризуется также главными взаимно перпендикулярными направлениями $\boldsymbol{t}_{1}, \boldsymbol{t}_{2}$, по к-рым К. таких сечений имеет экстремальные значения: \[ k_{1}=\frac{1}{R_{1}}, \quad k_{2}=\frac{1}{R_{2}} . \] К. в направлении, составляющем угол $\theta$ с $t_{1}$, определяется по формуле: \[ k=k_{1} \cos ^{2} \theta+k_{2} \sin ^{2} \theta . \] Величина $K=k_{1} k_{2}=\frac{1}{R_{1} R_{2}}$ именуется гауссовой, или полной, кривизной поверхности. Внутренняя кривизна поверхности. Пусть метрич. форма поверхности $S$ имеет вид \[ \begin{gathered} d s^{2}=g_{11}\left(u^{1}, u^{2}\right)\left(d u^{1}\right)^{2}+2 g_{12}\left(u^{1}, u^{2}\right) d u^{1} d u^{2}+ \\ +g_{22}\left(u^{1}, u^{2}\right)\left(d u^{2}\right)^{2}=g_{i k} d u^{i} d u^{k} . \end{gathered} \] На поверхности $S$ можно измерять длины, площади, а также углы между гладкими кривыми, исходящими из одной точки. Однако обычное понятие параллельности двух векторов на поверхности нуждается в уточнении. Дело в том, что параллельное в обычном смысле перенесение вектора, принадлежащего поверхности (касательного к поверхности) из заданной точки $S$ в другую, дает вектор, не лежащий на поверхности (не касательный к поверхности), а такой вектор, с точки зрения внутренних измерений, не может быть охарактеризован. Оказывается естественным рассматривать следующий процесс: исходный вектор скользит параллельно самому себе по нек-рой кривой $L\left\{u^{i}=u^{i}(t)\right\}$, одновременно проектируясь на касательную плоскость, и, таким образом, в каждой точке кривой получается вектор $\boldsymbol{a}$, лежащий на поверхности (длина вектора при этом не меняется). Конечный вектор может быть найден из системы уравнений \[ \frac{d a^{i}}{d t}+\Gamma_{j k}^{i} a^{j} \frac{d u^{k}}{d t}=0 \] (где $\Gamma_{j k}^{i}-$ Кристоффеля символы), то есть использованием только внутренних характеристик поверхности, и про него говорят, что он получен из исходного в результате внутреннего параллельного переноса вдоль кривой $L$. При обходе замкнутого контура и возвращении в исходную точку перенесенный вектор, вообще говоря, не совпадает с исходным, а образует с ним угол $\varphi$. Внутренней кривизной поверхности $S$ в точке $M$ называется предел \[ \lim \varphi / \sigma=K \] (где $\sigma-$ площадь, ограниченная контуром) при стягивании контура в точке $M$. Внутренняя К. поверхности совпадает с полной $\mathrm{K}$. Риманова кривизна. Риманова геометрия развертывается в результате задания в изучаемом пространстве $R_{n}$ расстояния между бесконечно близкими точками \[ d s^{2}=g_{i k} d x^{i} d x^{k} \] Объектом изучения являются внутренние свойства пространства, то есть свойства, к-рые могут быть получены из линейного элемента (2). Естественным образом появляется понятие длины, площади, угла. Как и в случае поверхности, возникает необходимость определить понятие параллельного переноса вектора и делается это, по существу, на основании аналогичных соображений; формально можно пользоваться уравнениями (1), где \[ \Gamma_{j k}^{i}=\frac{1}{2} g^{i s}\left(\frac{\partial g_{s j}}{\partial x^{k}}+\frac{\partial g_{s k}}{\partial x^{i}}-\frac{\partial g_{i k}}{\partial x^{s}}\right) \] Пусть $S$ - двумерная плоскость в $R_{n}$, имеющая в точке $M$ направление, определяемое касательными единичными векторами $\xi^{i}$ и $\eta^{i}$ (взаимно перпендикулярными). Совершая внутренний параллельный перенос вектора, принадлежащего $S$, вокруг точки $M$, опять приходят к рассмотрению отношения $\varphi / \sigma$ ( $\varphi$ - угол между исходным вектором и проекцией конечного вектора на $S, \sigma-$ величина площадки на $S$, охваченной контуром, по к-рому производится перенос); предел этого отношения называется кривизной пространства $R_{n}$ в точке $M$ в заданном двумерном направлении. Подсчеты показывают, что \[ \lim \varphi / \sigma=R_{i j k l} x^{i j} x^{k l} \] где $x^{i j}=1 / 2\left(\xi^{i} \eta^{j}-\xi^{j} \eta^{i}\right)-$ бивектор, характеризующий двумерное направление (нормаль к поверхности $S$ ). Появляющийся при этом тензор $R_{i j k l}$ называется ковариантным тензором кривизны, он имеет выражение \[ \begin{gathered} R_{i j k l}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{2} g_{i k}}{\partial x^{j} \partial x^{l}}+\frac{\partial^{2} g_{j l}}{\partial x^{i} \partial x^{k}}-\frac{\partial^{2} g_{i l}}{\partial x^{j} \partial x^{k}}-\frac{\partial^{2} g_{j k}}{\partial x^{j} \partial x^{k}}\right)- \\ -g_{r s}\left(\Gamma_{j k}^{r} \Gamma_{i l}^{s}-\Gamma_{j l}^{r} \Gamma_{i k}^{s}\right) . \end{gathered} \] Из тензора $R_{i j k l}$ свертыванием с метрич. тензором $g^{i k}$ может быть получен тензор Риччи \[ R_{j l}=g^{i k} R_{i j k l} \] играющий важную роль в теории относительности. Вторичным свертыванием из $R_{j l}$ получается инвариант $R=g^{j l} R_{j l}$, именуемый скалярной кривизной.