БЕКЛУНДА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

способ конструирования точных решений некоторых нелинейных уравнений математической физики. Предложен А. Беклундом (А. Bäcklund, 1875) в связи с изучением поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Для этих поверхностей элемент длины в подходящих координатах $u, v$ можно записать в виде \[ d s^{2}=d u^{2}+2 \cos \omega d u d v+d v^{2}, \] где $\omega$ подчиняется синус-Гордона уравнению \[ \partial^{2} \omega / \partial u \partial v=\sin \omega \text {. } \] Если $\omega_{0}(u, v)-$ произвольное решение этого уравнения, то $\omega_{1}(u, v)$, подчиняющееся уравнениям \[ \left.\begin{array}{l} \partial\left(\omega_{1}-\omega_{0}\right) / \partial u=2 a \sin \left[\left(\omega_{1}+\omega_{0}\right) / 2\right], \\ \partial\left(\omega_{1}+\omega_{0}\right) / \partial v=2 a^{-1} \sin \left[\left(\omega_{1}-\omega_{0}\right) / 2\right] \end{array}\right\} \] при произвольном $a$, также оказывается решением уравнения (1). Уравнения (2) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями и принципиально проще уравнения с частными производными (1). Если известны два Б. п. $\omega_{1}, \omega_{2}$ с параметрами $a_{1}, a_{2}$, то можно построить третье решение $\omega_{3}$, минуя квадратуры, по формуле \[ \operatorname{tg} \frac{\omega_{3}-\omega_{0}}{4}=\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{1}-a_{2}} \operatorname{tg} \frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{4} . \] Если $\omega_{0}=0$, Б. п. порождает важное частное решение уравнения (1) - кинк, или единичный солитон, \[ \omega=4 \operatorname{arctg} \exp \left(a u+a^{-1} v+\varphi\right) \text {. } \] Полагая $a_{1}, a_{2}$ комплексно сопряженными: \[ a_{1}=a_{2}^{*}=\lambda+i \eta, \] получаем другое важное решение уравнения (1) - бризер, или осциллирующий солитон, \[ \omega_{3}=4 \operatorname{arctg} \frac{\lambda}{i \eta} \frac{z-z^{*}}{1+|z|^{2}}, \quad z=\exp \left(a u+a^{-1} v+\varphi\right) . \] Последовательное применение Б. п., начиная с $\omega_{0}=0$, позволяет найти в явном виде $N$-солитонные решения уравнения (1), описывающие рассеяние кинков и бризеров друг на друге. Совершая на фоне произвольного $\omega_{0}$ последовательное Б. п. и полагая $a_{2}=-a_{1}+\delta a$, можно добиться инфинитезимальной (бесконечно малой) вариации решения \[ \omega_{2}=\omega_{0}+\delta \omega \text {. } \] Отсюда следует, что уравнение (1) инвариантно относительно бесконечной группы преобразований и в силу Нетер теоремы обладает бесконечным набором интегралов движения (интегрируемо). Интерес к Б. п. повысился в связи с развитием обратной задачи рассеяния метода. Б. п. найдены для большинства нелинейных уравнений, интегрируемых при помощи этого метода, в том числе для нелинейного уравнения Шредингера, для Янга-Миллса уравнений, для интегрируемых вариантов уравнений Эйнштейна в пустоте. Для Кортевега-де Фриса уравнения Б. п. имеет вид $\left(u=w_{x}\right)$ : \[ u_{t}+6 u u_{x}+u_{x x x}=0 \] \[ \begin{gathered} -2\left(w_{0}+w_{1}\right)_{x}=4 a^{2}+\left(w_{0}-w_{1}\right)^{2}, \\ \left(w_{0}-w_{1}\right)_{t}+3\left(w_{0 x}^{2}-w_{1 x}^{2}\right)+\left(w_{0}-w_{1}\right)_{x x x}=0 . \end{gathered} \] С точки зрения метода обратной задачи рассеяния Б. п. представляет собой перестройку решения нелинейного уравнения, соответствующую появлению в спектре интегрируемого линейного уравнения дополнительного дискретного собственного значения и добавлению солитона к исходному решению нелинейного уравнения.

способ конструирования точных решений некоторых нелинейных уравнений математической физики. Предложен А. Беклундом (А. Bäcklund, 1875) в связи с изучением поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Для этих поверхностей элемент длины в подходящих координатах $u, v$ можно записать в виде \[ d s^{2}=d u^{2}+2 \cos \omega d u d v+d v^{2}, \] где $\omega$ подчиняется синус-Гордона уравнению \[ \partial^{2} \omega / \partial u \partial v=\sin \omega \text {. } \] Если $\omega_{0}(u, v)-$ произвольное решение этого уравнения, то $\omega_{1}(u, v)$, подчиняющееся уравнениям \[ \left.\begin{array}{l} \partial\left(\omega_{1}-\omega_{0}\right) / \partial u=2 a \sin \left[\left(\omega_{1}+\omega_{0}\right) / 2\right], \\ \partial\left(\omega_{1}+\omega_{0}\right) / \partial v=2 a^{-1} \sin \left[\left(\omega_{1}-\omega_{0}\right) / 2\right] \end{array}\right\} \] при произвольном $a$, также оказывается решением уравнения (1). Уравнения (2) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями и принципиально проще уравнения с частными производными (1). Если известны два Б. п. $\omega_{1}, \omega_{2}$ с параметрами $a_{1}, a_{2}$, то можно построить третье решение $\omega_{3}$, минуя квадратуры, по формуле \[ \operatorname{tg} \frac{\omega_{3}-\omega_{0}}{4}=\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{1}-a_{2}} \operatorname{tg} \frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{4} . \] Если $\omega_{0}=0$, Б. п. порождает важное частное решение уравнения (1) - кинк, или единичный солитон, \[ \omega=4 \operatorname{arctg} \exp \left(a u+a^{-1} v+\varphi\right) \text {. } \] Полагая $a_{1}, a_{2}$ комплексно сопряженными: \[ a_{1}=a_{2}^{*}=\lambda+i \eta, \] получаем другое важное решение уравнения (1) - бризер, или осциллирующий солитон, \[ \omega_{3}=4 \operatorname{arctg} \frac{\lambda}{i \eta} \frac{z-z^{*}}{1+|z|^{2}}, \quad z=\exp \left(a u+a^{-1} v+\varphi\right) . \] Последовательное применение Б. п., начиная с $\omega_{0}=0$, позволяет найти в явном виде $N$-солитонные решения уравнения (1), описывающие рассеяние кинков и бризеров друг на друге. Совершая на фоне произвольного $\omega_{0}$ последовательное Б. п. и полагая $a_{2}=-a_{1}+\delta a$, можно добиться инфинитезимальной (бесконечно малой) вариации решения \[ \omega_{2}=\omega_{0}+\delta \omega \text {. } \] Отсюда следует, что уравнение (1) инвариантно относительно бесконечной группы преобразований и в силу Нетер теоремы обладает бесконечным набором интегралов движения (интегрируемо). Интерес к Б. п. повысился в связи с развитием обратной задачи рассеяния метода. Б. п. найдены для большинства нелинейных уравнений, интегрируемых при помощи этого метода, в том числе для нелинейного уравнения Шредингера, для Янга-Миллса уравнений, для интегрируемых вариантов уравнений Эйнштейна в пустоте. Для Кортевега-де Фриса уравнения Б. п. имеет вид $\left(u=w_{x}\right)$ : \[ u_{t}+6 u u_{x}+u_{x x x}=0 \] \[ \begin{gathered} -2\left(w_{0}+w_{1}\right)_{x}=4 a^{2}+\left(w_{0}-w_{1}\right)^{2}, \\ \left(w_{0}-w_{1}\right)_{t}+3\left(w_{0 x}^{2}-w_{1 x}^{2}\right)+\left(w_{0}-w_{1}\right)_{x x x}=0 . \end{gathered} \] С точки зрения метода обратной задачи рассеяния Б. п. представляет собой перестройку решения нелинейного уравнения, соответствующую появлению в спектре интегрируемого линейного уравнения дополнительного дискретного собственного значения и добавлению солитона к исходному решению нелинейного уравнения.