ЛАГРАНЖА-ПУАССОНА СЛУЧАЙ

второй из трех классических случаев интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки (первый - Эйлера - Пуансо случай, третий - Ковалевской случай). Он характеризуется тем, что эллипсоид инерции - эллипсоид вращения (обычно вокруг оси $O z$ так, что $A=B$) и центр тяжести тела расположен на той же оси $x_{0}=y_{0}=0$ (она называется осью динамической симметрии) на расстоянии $z_{0}$ от неподвижной точки $O$ (см. Твердое тело; движение около неподвижной точки). Уравнения Эйлера - Пуассона (I-III) обладают в этом случае дополнительным четвертым первым интегралом \[ r=r_{0}=\mathrm{const} \] выражающим постоянство спин-составляющей угловой скорости вдоль оси тела; открыт Ж. Лагранжем [1]. Интегрирование уравнений движения в рассматриваемом случае, полнее проведенное С. Пуассоном [2], приводит к обращению нек-рого эллиптич. интеграла 1-го рода вида $\int \frac{d s}{\sqrt{P(s)}}$, где $P(s)-$ многочлен 3-й степени, и нескольким квадратурам (см. [3]). В случае, когда среди корней $P(s)$ есть равные, решение может быть получено в элементарных функциях. Примеры. 1) Симметричный волчок - тяжелое твердое тело, центр тяжести $D$ к-рого находится выше неподвижной точки (называемой точкой опоры). Тогда из выражений для первых интегралов для $u=\cos \vartheta$, где $\vartheta-$ угол наклона оси волчка, получается уравнение где \[ \dot{u}^{2}=(\alpha-a u)\left(1-u^{2}\right)-\left(\beta-b r_{0} u\right)=P(u), \] \[ \alpha=\frac{h-C r_{0}}{A}, \quad \beta=\frac{k}{A}, \quad a=-\frac{2 M g \cos \theta}{A}, \quad b=\frac{C}{A} . \] В механич. задаче многочлен $P(u)$ имеет три действительных корня, из к-рых лишь два - на отрезке $[-1,+1]$. Следовательно, наклон оси волчка меняется периодически между двумя предельными значениями $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$. Это периодич. движение называется нутацией. Движение волчка по азимуту, то есть изменение азимута оси, определяется уравнением \[ \dot{\psi}=\frac{\beta-b r_{0} u}{1-u^{2}} \] В зависимости от расположения корня $u=\dot{\beta} / b r_{0}$ уравнения относительно интервала $\left(u_{1}, u_{2}\right)$ ось волчка чертит на единичной сфере либо кривую типа синусоиды, либо кривую с петлями или остриями (в последнем случае волчок сперва падает, но потом вновь поднимается). Азимутальное движение оси волчка называется прецессией. Наконец, вращение вокруг собственной оси $\varphi$ (собственное вращение волчка) определяется квадратурой уравнения: \[ \dot{\varphi}=r_{0}-u \frac{\beta-b r_{0} u}{1-u^{2}} . \] Таким образом, окончательное движение волчка состоит из вращения вокруг собственной оси, нутации и прецессии. Каждое из трех движений имеет свою частоту; если частоты несоизмеримы, то волчок никогда не возвращается в начальное состояние, хотя и подходит к нему сколь угодно близко. Если $u_{1}=u_{2}$, то $\theta=$ const, $u=u_{0}$, а $\varphi$ и $\psi$ - линейные функции времени. В этом случае тело равномерно вращается вокруг оси, равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси $O \bar{z}$ (регулярная прецессия). Если все три корня уравнения $P(u)=0$ равны, то ось волчка вертикальна $\vartheta=0$, а угловая скорость постоянна (спящий волчок); если же лишь $u_{2}=u_{3}$ и при этом $b^{2} r_{0}^{2}>r a$, то движение будет асимптотически (при $\left.t \rightarrow \infty\right)$ стремиться к рассмотренному равномерному вращению, то есть имеем устойчивость спящего волчка. 2) Вращающийся маятник - тяжелое твердое тело, центр тяжести к-рого находится ниже неподвижной точки (называющейся точкой подвеса). Решение в этом случае аналогично примеру 1). Ниже приводится решение для сферического маятника, к-рый характеризуется тем, что момент инерции $C=0$, то есть по существу сферич. маятник - это тяжелая материальная точка, движущаяся по поверхности сферы радиуса $l$, при этом $A=B=M l^{2}$. Область движения по углу $\vartheta$ определяется условием $E>U_{\text {эфф, }}$, а ее граница - уравнением $E=U_{\text {эфф, где }}$ \[ U_{\Im ф \Phi}=\frac{M_{3}^{2}}{2 M l^{2} \sin ^{2} v}+M g l \cos \vartheta \] Последнее представляет собой кубич. уравнение для $\cos \vartheta$, имеющее на отрезке $[-1,1]$ два корня, определяющих положение двух параллельных окружностей на сфере, между к-рыми заключена вся траектория (см. [4]). Замечательный частный случай - простой маятник - получается, если (постоянный) момент количества движения около вертикальной оси равен нулю. Здесь ось тела $О х$ лежит в вертикальной плоскости, проходящей через ось $O \bar{z}$, и, следовательно, ось $O y$ неподвижна, и маятник качается в этой плоскости. Наконец, маятник может быть вообще неподвижен, то есть здесь имеется устойчивость без ограничения снизу собственного вращения угловой скорости. Лит.: [1] Lagrange J. L., Mécanique analytique, P., 1788; рус. пер.: Аналитическая механика, т. 1-2, М., 1950; [2] Poisson S. D., Traite de mécanique, 2 éd., t. 2, Р., 1833, 1 éd., 1813; [3] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979; [4] Голубев В. В., Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, М., 1953; [5] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика, 3 изд., М., 1973. М. И. Войцеховский.

второй из трех классических случаев интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки (первый - Эйлера - Пуансо случай, третий - Ковалевской случай). Он характеризуется тем, что эллипсоид инерции - эллипсоид вращения (обычно вокруг оси $O z$ так, что $A=B$) и центр тяжести тела расположен на той же оси $x_{0}=y_{0}=0$ (она называется осью динамической симметрии) на расстоянии $z_{0}$ от неподвижной точки $O$ (см. Твердое тело; движение около неподвижной точки). Уравнения Эйлера - Пуассона (I-III) обладают в этом случае дополнительным четвертым первым интегралом \[ r=r_{0}=\mathrm{const} \] выражающим постоянство спин-составляющей угловой скорости вдоль оси тела; открыт Ж. Лагранжем [1]. Интегрирование уравнений движения в рассматриваемом случае, полнее проведенное С. Пуассоном [2], приводит к обращению нек-рого эллиптич. интеграла 1-го рода вида $\int \frac{d s}{\sqrt{P(s)}}$, где $P(s)-$ многочлен 3-й степени, и нескольким квадратурам (см. [3]). В случае, когда среди корней $P(s)$ есть равные, решение может быть получено в элементарных функциях. Примеры. 1) Симметричный волчок - тяжелое твердое тело, центр тяжести $D$ к-рого находится выше неподвижной точки (называемой точкой опоры). Тогда из выражений для первых интегралов для $u=\cos \vartheta$, где $\vartheta-$ угол наклона оси волчка, получается уравнение где \[ \dot{u}^{2}=(\alpha-a u)\left(1-u^{2}\right)-\left(\beta-b r_{0} u\right)=P(u), \] \[ \alpha=\frac{h-C r_{0}}{A}, \quad \beta=\frac{k}{A}, \quad a=-\frac{2 M g \cos \theta}{A}, \quad b=\frac{C}{A} . \] В механич. задаче многочлен $P(u)$ имеет три действительных корня, из к-рых лишь два - на отрезке $[-1,+1]$. Следовательно, наклон оси волчка меняется периодически между двумя предельными значениями $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$. Это периодич. движение называется нутацией. Движение волчка по азимуту, то есть изменение азимута оси, определяется уравнением \[ \dot{\psi}=\frac{\beta-b r_{0} u}{1-u^{2}} \] В зависимости от расположения корня $u=\dot{\beta} / b r_{0}$ уравнения относительно интервала $\left(u_{1}, u_{2}\right)$ ось волчка чертит на единичной сфере либо кривую типа синусоиды, либо кривую с петлями или остриями (в последнем случае волчок сперва падает, но потом вновь поднимается). Азимутальное движение оси волчка называется прецессией. Наконец, вращение вокруг собственной оси $\varphi$ (собственное вращение волчка) определяется квадратурой уравнения: \[ \dot{\varphi}=r_{0}-u \frac{\beta-b r_{0} u}{1-u^{2}} . \] Таким образом, окончательное движение волчка состоит из вращения вокруг собственной оси, нутации и прецессии. Каждое из трех движений имеет свою частоту; если частоты несоизмеримы, то волчок никогда не возвращается в начальное состояние, хотя и подходит к нему сколь угодно близко. Если $u_{1}=u_{2}$, то $\theta=$ const, $u=u_{0}$, а $\varphi$ и $\psi$ - линейные функции времени. В этом случае тело равномерно вращается вокруг оси, равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси $O \bar{z}$ (регулярная прецессия). Если все три корня уравнения $P(u)=0$ равны, то ось волчка вертикальна $\vartheta=0$, а угловая скорость постоянна (спящий волчок); если же лишь $u_{2}=u_{3}$ и при этом $b^{2} r_{0}^{2}>r a$, то движение будет асимптотически (при $\left.t \rightarrow \infty\right)$ стремиться к рассмотренному равномерному вращению, то есть имеем устойчивость спящего волчка. 2) Вращающийся маятник - тяжелое твердое тело, центр тяжести к-рого находится ниже неподвижной точки (называющейся точкой подвеса). Решение в этом случае аналогично примеру 1). Ниже приводится решение для сферического маятника, к-рый характеризуется тем, что момент инерции $C=0$, то есть по существу сферич. маятник - это тяжелая материальная точка, движущаяся по поверхности сферы радиуса $l$, при этом $A=B=M l^{2}$. Область движения по углу $\vartheta$ определяется условием $E>U_{\text {эфф, }}$, а ее граница - уравнением $E=U_{\text {эфф, где }}$ \[ U_{\Im ф \Phi}=\frac{M_{3}^{2}}{2 M l^{2} \sin ^{2} v}+M g l \cos \vartheta \] Последнее представляет собой кубич. уравнение для $\cos \vartheta$, имеющее на отрезке $[-1,1]$ два корня, определяющих положение двух параллельных окружностей на сфере, между к-рыми заключена вся траектория (см. [4]). Замечательный частный случай - простой маятник - получается, если (постоянный) момент количества движения около вертикальной оси равен нулю. Здесь ось тела $О х$ лежит в вертикальной плоскости, проходящей через ось $O \bar{z}$, и, следовательно, ось $O y$ неподвижна, и маятник качается в этой плоскости. Наконец, маятник может быть вообще неподвижен, то есть здесь имеется устойчивость без ограничения снизу собственного вращения угловой скорости. Лит.: [1] Lagrange J. L., Mécanique analytique, P., 1788; рус. пер.: Аналитическая механика, т. 1-2, М., 1950; [2] Poisson S. D., Traite de mécanique, 2 éd., t. 2, Р., 1833, 1 éd., 1813; [3] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979; [4] Голубев В. В., Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, М., 1953; [5] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика, 3 изд., М., 1973. М. И. Войцеховский.