ЛАНДАУ-ГИНЗБУРГА УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АМПЛИТУД

уравнения с кубической нелинейностью для «медленной» огибающей узких волновых пакетов. Пусть комплексная амплитуда огибающей $\varepsilon A$ зависит от «медленных» пространственных координат $\boldsymbol{X}=\varepsilon \boldsymbol{x}$ и времени $T=\varepsilon t$, где $\varepsilon-$ параметр надкритичности. В гидродинамике \[ \varepsilon=\left[\left(\operatorname{Re} / \operatorname{Re}_{\mathrm{Kp}}\right)-1\right]^{1 / 2}, \] где $\operatorname{Re}$ - число Рейнольдса. И пусть, напр., изменение скорости течения по одной из координат $(z)$ задано $(\sim \zeta(z))$, $X=\varepsilon x, Y=\varepsilon^{1 / 2} y, T=\varepsilon t$. Рассматривается основной волновой пакет с центром $\boldsymbol{k}_{c}$ (скажем, $\boldsymbol{k}_{c}=\left(\boldsymbol{k}_{c}, 0\right)$ ), где $\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{c}}-$ первая возбуждающаяся мода, определяемая минимальным значением $\operatorname{Re}=\operatorname{Re}_{c}$ на кривой нейтральной устойчивости $\gamma(k, R e)=0$. Пусть в линейном приближении имеет место вращательная симметрия хотя бы при малых углах поворота относительно $\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{c}}$. Аппроксимируя пакет рядом \[ u=\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots ; \quad u_{1}=A \exp \left[i(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x})-\omega_{c} t\right] \] (для одной из компонент поля скорости), подставляют такие ряды в уравнения динамики и, собрав в них слагаемые одинакового порядка по $\varepsilon$, получают систему уравнений, условием разрешимости к-рой будет следующее уравнение Ландау-Гинзбурга: \[ \begin{gathered} \frac{\partial A}{\partial T}+\omega_{c}^{\prime}\left(\frac{\partial}{\partial X}-\frac{i}{2 k_{c}} \Delta\right) A+\frac{1}{2}\left[\gamma^{\prime \prime}-i\left(\omega_{c}^{\prime \prime}-\frac{\omega_{c}^{\prime}}{k_{c}}\right)\right] \times \\ \times\left(\frac{\partial}{\partial X}-\frac{i}{2 k_{c}} \frac{\partial^{2}}{\partial Y^{2}}\right)^{2} A=\gamma A-\frac{1}{2} \delta A^{2} A^{*}, \end{gathered} \] где $\omega_{c}^{\prime}=\partial \omega_{c} / \partial k_{c}$ - групповая скорость пакета, $\omega_{c}^{\prime \prime}$ и $\omega_{c}^{\prime} / k_{c}$ характеризуют его расплывание, $\gamma^{\prime \prime}$ характеризует уменьшение инкрементов мод в пакете при отклонении их волновых чисел от $k_{c}$, а $\delta$ - комплексная постоянная Ландау, характеризующая насыщение и нелинейную модуляцию волны. Отсюда при нек-рых упрощениях легко выводится известное уравнение Ландау для квадрата амплитуды $|A|^{2}=A A^{*}$.

уравнения с кубической нелинейностью для «медленной» огибающей узких волновых пакетов. Пусть комплексная амплитуда огибающей $\varepsilon A$ зависит от «медленных» пространственных координат $\boldsymbol{X}=\varepsilon \boldsymbol{x}$ и времени $T=\varepsilon t$, где $\varepsilon-$ параметр надкритичности. В гидродинамике \[ \varepsilon=\left[\left(\operatorname{Re} / \operatorname{Re}_{\mathrm{Kp}}\right)-1\right]^{1 / 2}, \] где $\operatorname{Re}$ - число Рейнольдса. И пусть, напр., изменение скорости течения по одной из координат $(z)$ задано $(\sim \zeta(z))$, $X=\varepsilon x, Y=\varepsilon^{1 / 2} y, T=\varepsilon t$. Рассматривается основной волновой пакет с центром $\boldsymbol{k}_{c}$ (скажем, $\boldsymbol{k}_{c}=\left(\boldsymbol{k}_{c}, 0\right)$ ), где $\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{c}}-$ первая возбуждающаяся мода, определяемая минимальным значением $\operatorname{Re}=\operatorname{Re}_{c}$ на кривой нейтральной устойчивости $\gamma(k, R e)=0$. Пусть в линейном приближении имеет место вращательная симметрия хотя бы при малых углах поворота относительно $\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{c}}$. Аппроксимируя пакет рядом \[ u=\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots ; \quad u_{1}=A \exp \left[i(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x})-\omega_{c} t\right] \] (для одной из компонент поля скорости), подставляют такие ряды в уравнения динамики и, собрав в них слагаемые одинакового порядка по $\varepsilon$, получают систему уравнений, условием разрешимости к-рой будет следующее уравнение Ландау-Гинзбурга: \[ \begin{gathered} \frac{\partial A}{\partial T}+\omega_{c}^{\prime}\left(\frac{\partial}{\partial X}-\frac{i}{2 k_{c}} \Delta\right) A+\frac{1}{2}\left[\gamma^{\prime \prime}-i\left(\omega_{c}^{\prime \prime}-\frac{\omega_{c}^{\prime}}{k_{c}}\right)\right] \times \\ \times\left(\frac{\partial}{\partial X}-\frac{i}{2 k_{c}} \frac{\partial^{2}}{\partial Y^{2}}\right)^{2} A=\gamma A-\frac{1}{2} \delta A^{2} A^{*}, \end{gathered} \] где $\omega_{c}^{\prime}=\partial \omega_{c} / \partial k_{c}$ - групповая скорость пакета, $\omega_{c}^{\prime \prime}$ и $\omega_{c}^{\prime} / k_{c}$ характеризуют его расплывание, $\gamma^{\prime \prime}$ характеризует уменьшение инкрементов мод в пакете при отклонении их волновых чисел от $k_{c}$, а $\delta$ - комплексная постоянная Ландау, характеризующая насыщение и нелинейную модуляцию волны. Отсюда при нек-рых упрощениях легко выводится известное уравнение Ландау для квадрата амплитуды $|A|^{2}=A A^{*}$.