ЛАНЖЕВЕНА УРАВНЕНИЯ В ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

уравнения для фурье-компонент поля скорости: \[ \frac{\partial}{\partial t} u_{i}(\boldsymbol{k}, t)=-\mu(k, t) u_{i}(\boldsymbol{k}, t)+f_{i}(\boldsymbol{k}, t), \quad i=1,2, \] где $\boldsymbol{k}$ - волновой вектор с модулем $k, \mu(k, t)-$ релаксационный коэффициент трения, $f_{i}(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{t})$ - дельта-коррелированные по времени случайные силы, определяемые спектральным тензором $\Phi_{i j}(\boldsymbol{k}, t)$. Осреднение их произведения дает \[ \left\langle f_{i}(\boldsymbol{k}, t) f_{j}\left(-k, t^{\prime}\right)\right\rangle=\delta\left(t-t^{\prime}\right) \Phi_{i j}(k, t) . \] Условие (2) обеспечивает марковость случайного процесса (см. [1]). Подстановка выражения (1) в тождество \[ \frac{\partial}{\partial t} u_{i}(k, t) u_{j}(-k, t)=u_{j}(-k, t) \frac{\partial}{\partial t} u_{i}(k, t)+u_{i}(k, t) \frac{\partial}{\partial t} u_{j}(-k, t) \] и осреднение полученного при этом выражения с использованием формулы для корреляции случайной силы со скоростью $\left\langle f_{i}(\boldsymbol{k}, t) u_{j}(-\boldsymbol{k}, t)\right\rangle=\int_{0}^{t} d t^{\prime}\left\langle f_{i}(\boldsymbol{k}, t) f_{l}\left(-\boldsymbol{k}, t^{\prime}\right)\right\rangle\left\langle\delta u_{j}(\boldsymbol{k}, t) / \delta f_{l}\left(-\boldsymbol{k}, t^{\prime}\right)\right\rangle$ позволяют получить уравнение для изотропной спектральной функции поля скорости в виде: \[ \frac{\partial}{\partial t} F(k, t)=-2 \mu(k, t) F(k, t)+2 \Phi(k, t) . \] Уравнение (3) обнаруживает тесную связь с квазимарковскими схемами замыкания в теории турбулентности (см. [3]-[5]). Лит.: [1] Кляцкин В.И., Татарский В.И., «Успехи физич. наук», 1973, т. 110, № 4, с. 499-536; [2] Монин А.С., Яглом А.М., Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности, ч. 2, М., 1967; [3] Edwards S.F., «J. Fluid Mech.», 1964, v. 18, № 2, p. 239-73; [4] Herring J.H., «Phys. Fluids», 1965, v. 8, № 12, p. 2219-25; [5] Kraichnan R.H., «J. Fluid Mech.», 1971, v. 47, № 3, p. 513-24. А.П. Мирабель.

уравнения для фурье-компонент поля скорости: \[ \frac{\partial}{\partial t} u_{i}(\boldsymbol{k}, t)=-\mu(k, t) u_{i}(\boldsymbol{k}, t)+f_{i}(\boldsymbol{k}, t), \quad i=1,2, \] где $\boldsymbol{k}$ - волновой вектор с модулем $k, \mu(k, t)-$ релаксационный коэффициент трения, $f_{i}(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{t})$ - дельта-коррелированные по времени случайные силы, определяемые спектральным тензором $\Phi_{i j}(\boldsymbol{k}, t)$. Осреднение их произведения дает \[ \left\langle f_{i}(\boldsymbol{k}, t) f_{j}\left(-k, t^{\prime}\right)\right\rangle=\delta\left(t-t^{\prime}\right) \Phi_{i j}(k, t) . \] Условие (2) обеспечивает марковость случайного процесса (см. [1]). Подстановка выражения (1) в тождество \[ \frac{\partial}{\partial t} u_{i}(k, t) u_{j}(-k, t)=u_{j}(-k, t) \frac{\partial}{\partial t} u_{i}(k, t)+u_{i}(k, t) \frac{\partial}{\partial t} u_{j}(-k, t) \] и осреднение полученного при этом выражения с использованием формулы для корреляции случайной силы со скоростью $\left\langle f_{i}(\boldsymbol{k}, t) u_{j}(-\boldsymbol{k}, t)\right\rangle=\int_{0}^{t} d t^{\prime}\left\langle f_{i}(\boldsymbol{k}, t) f_{l}\left(-\boldsymbol{k}, t^{\prime}\right)\right\rangle\left\langle\delta u_{j}(\boldsymbol{k}, t) / \delta f_{l}\left(-\boldsymbol{k}, t^{\prime}\right)\right\rangle$ позволяют получить уравнение для изотропной спектральной функции поля скорости в виде: \[ \frac{\partial}{\partial t} F(k, t)=-2 \mu(k, t) F(k, t)+2 \Phi(k, t) . \] Уравнение (3) обнаруживает тесную связь с квазимарковскими схемами замыкания в теории турбулентности (см. [3]-[5]). Лит.: [1] Кляцкин В.И., Татарский В.И., «Успехи физич. наук», 1973, т. 110, № 4, с. 499-536; [2] Монин А.С., Яглом А.М., Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности, ч. 2, М., 1967; [3] Edwards S.F., «J. Fluid Mech.», 1964, v. 18, № 2, p. 239-73; [4] Herring J.H., «Phys. Fluids», 1965, v. 8, № 12, p. 2219-25; [5] Kraichnan R.H., «J. Fluid Mech.», 1971, v. 47, № 3, p. 513-24. А.П. Мирабель.