ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ

преобразование Лапласа, определенное для обобщенных функций, основное пространство которых содержит линейные экспоненты - функции вида \[ e^{i z}(\zeta)=e^{i z \zeta} \] $\zeta$ - вещественный или комплексный аргумент, $z$ - параметр, лежащий в трубчатой области $T^{O}=\mathbb{R}^{n}+i O \subset \mathbb{C}^{n}, O-$ область в $\mathbb{R}^{n}, z \zeta=z_{1} \zeta_{1}+\ldots+z_{n} \zeta_{n}$. В этом случае Л. П. $L[g]$ обобщенной функции $g$ определяется формулой \[ L[g](z)=\left(g, e^{i z}\right), z \in T^{O} . \] В нормальных условиях топология основного пространства обеспечивает аналитичность функции $f(z)=L[g](z)$ в $T^{O}$. Л. П. обобщенных функций было введено Л. Шварцем (L. Schwartz) и Ж. Лионсом (J. Lions) в начале 50-х гг. 20 в. Оно широко применяется в аксиоматич. квантовой теории поля, в теории дифференциальных уравнений с частными производными, в тауберовой теории для обобщенных функций, при изучении граничных значений аналитич. функций и в других областях математики и математич. физики. Л. П. аналитических функционалов. Основное пространство $x(O), O-$ область в $\mathbb{C}^{n}$, содержит все линейные экспоненты, так что для всякого аналитич. функционала $g \in x^{\prime}(O)$ определено Л. П. $L[g](z), z \in \mathbb{C}^{n},-$ целая функция экспоненциального типа. Подробнее, пусть \[ E(O)=\operatorname{limind}_{K \subset O} E(K), \] где $K$ - комплексный компакт, $E(K)$ - банахово пространство всех целых функций $f(z)$ с конечной нормой \[ |f|=\sup \left\{|f(z)| e^{-H_{K}(z)} ; z \in \mathbb{C}^{n}\right\}, \] где $H_{K}(z)=\sup \{\operatorname{Re} i z \zeta ; \zeta \in K\}-$ опорная функция $K$. Очевидно, $E(O)=E(\operatorname{ch} O)$, где $\operatorname{ch} O-$ выпуклая оболочка $O$. Л. П. $L$ есть линейное непрерывное отображение $x^{\prime}(O)$ в $E(O)$. Если область $O$ выпуклая, то \[ L: x^{\prime}(O) \cong E(O) \] - топологич. изоморфизм. Л. П. вещественных аналитических функционалов. Основное пространство $\mathscr{A}(\omega), \omega-$ область в $\mathbb{R}^{n}$, содержит все линейные экспоненты, то есть и здесь для всякого $g \in \mathscr{A}^{\prime}(\omega)$ определено Л. П. $L[g]$ - целая функция экспоненциального типа. Подробнее, пусть \[ E(\omega)=\underset{K \subset \omega}{\operatorname{limind} \lim } \operatorname{proj}_{\varepsilon} E_{\varepsilon}(K), \] где $K$ - вещественный компакт, $E_{\varepsilon}(K)$ - банахово пространство всех целых функций $f(z)$ с конечной нормой \[ |f|=\sup \left\{|f(z)| e^{-H_{K}(z)-\varepsilon|z|} ; z \in \mathbb{C}^{n}\right\} \] где \[ H_{K}(z)=\sup \{-y \zeta ; \zeta \in K\}, z=x+i y, \] поскольку компакт $K$ вещественный. Тогда $L$ - линейное непрерывное инъективное отображение $\mathscr{A}^{\prime}(\omega)$ в $E(\omega)$, а в случае выпуклой области $\omega, L-$ топологич. изоморфизм. Л. П. обобщенных функций с компактным носителем. Основное пространство $\mathscr{E}(\omega), \omega-$ область в $\mathbb{R}^{n}$, также содержит все линейные экспоненты, так что для всякой $g \in \mathscr{E}^{\prime}(\omega)$ определено Л. П. $L[g]-$ целая функция экспоненциального типа. Подробнее, пусть \[ E_{\infty}(\omega)=\lim \text { ind } E_{p}(K), \] где $E_{p}(K)$ - банахово пространство всех целых функций $f(z)$ с конечной нормой \[ |f|=\sup \left\{|f(z)| e^{-H_{K}(z)}(1+|z|)^{-p} ; z \in \mathbb{C}^{n}\right\}, \] индуктивный предел берется по всем $p=0,1,2, \ldots$, и компактам $K \subset \omega$. Тогда $L-$ линейное непрерывное инъективное отображение $\mathscr{E}^{\prime}(\omega)$ в $E_{\infty}(\omega)$, а в случае выпуклой области $\omega, L$ - топологич. изоморфизм. Часто основное пространство, на к-ром определена данная обобщенная функция $g$, не содержит линейных экспонент, но $g$ допускает однозначное продолжение до линейного непрерывного функционала $h$ на более широком основном пространстве, уже содержащем линейные экспоненты. В этом случае полагают, по определению, $L[g]=$ $=L[h]$ (да и вообще, отождествляют $g$ и $h$). Л. п. умеренных распределений с носителем, ограниченным со стороны острого замкнутого конуса $\Gamma \subset \mathbb{R}^{n}$ с вершиной в нуле, то есть элементов из $\mathscr{I}_{\Gamma_{+}}$. Здесь основное пространство $\mathscr{4}$ не содержит линейных экспонент, однако каждый функционал $g \in \mathscr{I}_{\Gamma_{+}^{\prime}}$ однозначно продолжается до линейного непрерывного функционала на основном пространстве $\mathscr{l}\left(\Gamma_{+}\right)$. Пространство $\mathcal{g}\left(\Gamma_{+}\right)$ содержит линейные экспоненты $e^{i z}$ при всех $z \in T^{C}$, где \[ C=\operatorname{int}\left\{y \in \mathbb{R}^{n} ; y \zeta \geqslant 0 \text { для всех } \zeta \in \Gamma\right\} \] - внутренность сопряженного к Г конуса, так что каждое $g \in \mathscr{I}_{\Gamma_{+}}^{\prime}$ имеет Л. п. $L[g]$ - аналитическую в трубчатой области $T^{C}$ функцию. Точнее, Л. П. $L-$ линейное инъективное непрерывное отображение сверточной алгебры $\mathscr{I}_{\Gamma_{+}}^{\prime}$ (см. Свертка) во Владимирова алгебру $H_{+}(C)$, причем \[ L[f * g](z)=L[f](z) L[g](z), z \in T^{C}, \] для всех $f, g \in \mathscr{I}_{\Gamma_{+}}^{\prime}$. Если конус $\Gamma$ выпуклый, то $L$ - топологич. изоморфизм алгебр. В частности, подалгебру $g_{\Gamma}^{\prime}$ умеренных распределений с носителем в конусе $\Gamma$ Л. п. $L$ отображает в алгебру Владимирова $H(C)$ и является изоморфизмом алгебр для выпуклого $\Gamma$.

преобразование Лапласа, определенное для обобщенных функций, основное пространство которых содержит линейные экспоненты - функции вида \[ e^{i z}(\zeta)=e^{i z \zeta} \] $\zeta$ - вещественный или комплексный аргумент, $z$ - параметр, лежащий в трубчатой области $T^{O}=\mathbb{R}^{n}+i O \subset \mathbb{C}^{n}, O-$ область в $\mathbb{R}^{n}, z \zeta=z_{1} \zeta_{1}+\ldots+z_{n} \zeta_{n}$. В этом случае Л. П. $L[g]$ обобщенной функции $g$ определяется формулой \[ L[g](z)=\left(g, e^{i z}\right), z \in T^{O} . \] В нормальных условиях топология основного пространства обеспечивает аналитичность функции $f(z)=L[g](z)$ в $T^{O}$. Л. П. обобщенных функций было введено Л. Шварцем (L. Schwartz) и Ж. Лионсом (J. Lions) в начале 50-х гг. 20 в. Оно широко применяется в аксиоматич. квантовой теории поля, в теории дифференциальных уравнений с частными производными, в тауберовой теории для обобщенных функций, при изучении граничных значений аналитич. функций и в других областях математики и математич. физики. Л. П. аналитических функционалов. Основное пространство $x(O), O-$ область в $\mathbb{C}^{n}$, содержит все линейные экспоненты, так что для всякого аналитич. функционала $g \in x^{\prime}(O)$ определено Л. П. $L[g](z), z \in \mathbb{C}^{n},-$ целая функция экспоненциального типа. Подробнее, пусть \[ E(O)=\operatorname{limind}_{K \subset O} E(K), \] где $K$ - комплексный компакт, $E(K)$ - банахово пространство всех целых функций $f(z)$ с конечной нормой \[ |f|=\sup \left\{|f(z)| e^{-H_{K}(z)} ; z \in \mathbb{C}^{n}\right\}, \] где $H_{K}(z)=\sup \{\operatorname{Re} i z \zeta ; \zeta \in K\}-$ опорная функция $K$. Очевидно, $E(O)=E(\operatorname{ch} O)$, где $\operatorname{ch} O-$ выпуклая оболочка $O$. Л. П. $L$ есть линейное непрерывное отображение $x^{\prime}(O)$ в $E(O)$. Если область $O$ выпуклая, то \[ L: x^{\prime}(O) \cong E(O) \] - топологич. изоморфизм. Л. П. вещественных аналитических функционалов. Основное пространство $\mathscr{A}(\omega), \omega-$ область в $\mathbb{R}^{n}$, содержит все линейные экспоненты, то есть и здесь для всякого $g \in \mathscr{A}^{\prime}(\omega)$ определено Л. П. $L[g]$ - целая функция экспоненциального типа. Подробнее, пусть \[ E(\omega)=\underset{K \subset \omega}{\operatorname{limind} \lim } \operatorname{proj}_{\varepsilon} E_{\varepsilon}(K), \] где $K$ - вещественный компакт, $E_{\varepsilon}(K)$ - банахово пространство всех целых функций $f(z)$ с конечной нормой \[ |f|=\sup \left\{|f(z)| e^{-H_{K}(z)-\varepsilon|z|} ; z \in \mathbb{C}^{n}\right\} \] где \[ H_{K}(z)=\sup \{-y \zeta ; \zeta \in K\}, z=x+i y, \] поскольку компакт $K$ вещественный. Тогда $L$ - линейное непрерывное инъективное отображение $\mathscr{A}^{\prime}(\omega)$ в $E(\omega)$, а в случае выпуклой области $\omega, L-$ топологич. изоморфизм. Л. П. обобщенных функций с компактным носителем. Основное пространство $\mathscr{E}(\omega), \omega-$ область в $\mathbb{R}^{n}$, также содержит все линейные экспоненты, так что для всякой $g \in \mathscr{E}^{\prime}(\omega)$ определено Л. П. $L[g]-$ целая функция экспоненциального типа. Подробнее, пусть \[ E_{\infty}(\omega)=\lim \text { ind } E_{p}(K), \] где $E_{p}(K)$ - банахово пространство всех целых функций $f(z)$ с конечной нормой \[ |f|=\sup \left\{|f(z)| e^{-H_{K}(z)}(1+|z|)^{-p} ; z \in \mathbb{C}^{n}\right\}, \] индуктивный предел берется по всем $p=0,1,2, \ldots$, и компактам $K \subset \omega$. Тогда $L-$ линейное непрерывное инъективное отображение $\mathscr{E}^{\prime}(\omega)$ в $E_{\infty}(\omega)$, а в случае выпуклой области $\omega, L$ - топологич. изоморфизм. Часто основное пространство, на к-ром определена данная обобщенная функция $g$, не содержит линейных экспонент, но $g$ допускает однозначное продолжение до линейного непрерывного функционала $h$ на более широком основном пространстве, уже содержащем линейные экспоненты. В этом случае полагают, по определению, $L[g]=$ $=L[h]$ (да и вообще, отождествляют $g$ и $h$). Л. п. умеренных распределений с носителем, ограниченным со стороны острого замкнутого конуса $\Gamma \subset \mathbb{R}^{n}$ с вершиной в нуле, то есть элементов из $\mathscr{I}_{\Gamma_{+}}$. Здесь основное пространство $\mathscr{4}$ не содержит линейных экспонент, однако каждый функционал $g \in \mathscr{I}_{\Gamma_{+}^{\prime}}$ однозначно продолжается до линейного непрерывного функционала на основном пространстве $\mathscr{l}\left(\Gamma_{+}\right)$. Пространство $\mathcal{g}\left(\Gamma_{+}\right)$ содержит линейные экспоненты $e^{i z}$ при всех $z \in T^{C}$, где \[ C=\operatorname{int}\left\{y \in \mathbb{R}^{n} ; y \zeta \geqslant 0 \text { для всех } \zeta \in \Gamma\right\} \] - внутренность сопряженного к Г конуса, так что каждое $g \in \mathscr{I}_{\Gamma_{+}}^{\prime}$ имеет Л. п. $L[g]$ - аналитическую в трубчатой области $T^{C}$ функцию. Точнее, Л. П. $L-$ линейное инъективное непрерывное отображение сверточной алгебры $\mathscr{I}_{\Gamma_{+}}^{\prime}$ (см. Свертка) во Владимирова алгебру $H_{+}(C)$, причем \[ L[f * g](z)=L[f](z) L[g](z), z \in T^{C}, \] для всех $f, g \in \mathscr{I}_{\Gamma_{+}}^{\prime}$. Если конус $\Gamma$ выпуклый, то $L$ - топологич. изоморфизм алгебр. В частности, подалгебру $g_{\Gamma}^{\prime}$ умеренных распределений с носителем в конусе $\Gamma$ Л. п. $L$ отображает в алгебру Владимирова $H(C)$ и является изоморфизмом алгебр для выпуклого $\Gamma$.