ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ

дифференциальное уравнение \[ \Delta f=0, \] где $\Delta$ - Лапласа оператор, а функция $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ отыскивается во всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$ или в его части $G$. Решения Л.у. называются гармоническими функциями. К Л.у. приводит ряд задач физики и техники. Л.у. удовлетворяют температура при стационарных процессах, потенциал электростатич. поля в точках пространства, свободных от зарядов, потенциал поля тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и т.п. Л.у. встречается у Л. Эйлера (L. Euler, 1761) и Ж. Д’Аламбера (J. D’Alembert, 1761) в связи с задачами гидромеханики. Однако широкую известность это уравнение получило после появления работ П. Лапласа (P. Laplace, 1782, 1799) по теории гравитационного потенциала и небесной механике. Каждое решение Л.у. в ограниченной области $G$ однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе $\partial G$ области $G$. Если решение отыскивается во всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$, краевые условия сводятся к предписанию нек-рой асимптотики для $f$ при $x_{1}, \ldots, x_{n} \rightarrow \infty$. Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются Дирихле задача, когда на границе задано значение самой функции $f$, и Неймана задача, когда задано значение производной $f$ по нормали к границе. В случае $n=2$, когда $\mathbb{R}$ можно отождествить с комплексной плоскостью $\mathbb{C}$, всякая гармонич. функция $f\left(x_{1}, x_{2}\right)$ в области $G \subset \mathbb{C}$ является вещественной частью нек-рой аналитич. функции $w(z)$ в этой области $\left(z=x_{1}+i x_{2}\right)$. Это обстоятельство позволяет использовать при изучении Л.у. методы теории аналитич. функций. Соответствующее Л.у. неоднородное уравнение называется Пуассона уравнением. Л.у. описывает стационарное распределение потенциала (электрического, гравитационного и других полей) в однородной среде без источников внутри области $G$.

дифференциальное уравнение \[ \Delta f=0, \] где $\Delta$ - Лапласа оператор, а функция $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ отыскивается во всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$ или в его части $G$. Решения Л.у. называются гармоническими функциями. К Л.у. приводит ряд задач физики и техники. Л.у. удовлетворяют температура при стационарных процессах, потенциал электростатич. поля в точках пространства, свободных от зарядов, потенциал поля тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и т.п. Л.у. встречается у Л. Эйлера (L. Euler, 1761) и Ж. Д’Аламбера (J. D’Alembert, 1761) в связи с задачами гидромеханики. Однако широкую известность это уравнение получило после появления работ П. Лапласа (P. Laplace, 1782, 1799) по теории гравитационного потенциала и небесной механике. Каждое решение Л.у. в ограниченной области $G$ однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе $\partial G$ области $G$. Если решение отыскивается во всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$, краевые условия сводятся к предписанию нек-рой асимптотики для $f$ при $x_{1}, \ldots, x_{n} \rightarrow \infty$. Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются Дирихле задача, когда на границе задано значение самой функции $f$, и Неймана задача, когда задано значение производной $f$ по нормали к границе. В случае $n=2$, когда $\mathbb{R}$ можно отождествить с комплексной плоскостью $\mathbb{C}$, всякая гармонич. функция $f\left(x_{1}, x_{2}\right)$ в области $G \subset \mathbb{C}$ является вещественной частью нек-рой аналитич. функции $w(z)$ в этой области $\left(z=x_{1}+i x_{2}\right)$. Это обстоятельство позволяет использовать при изучении Л.у. методы теории аналитич. функций. Соответствующее Л.у. неоднородное уравнение называется Пуассона уравнением. Л.у. описывает стационарное распределение потенциала (электрического, гравитационного и других полей) в однородной среде без источников внутри области $G$.