ЛЕВИ-ЧИВИТА СВЯЗНОСТЬ

связность на (псевдо)римановом многообразии $\left(M^{n}, g_{i j}\right)$, определяемая из следующих условий: a) в процессе параллельного переноса скалярное произведение векторов не меняется; б) аффинная связность симметрична, то есть ее тензор кручения равен нулю. Условие а) эквивалентно обращению в нуль всех ковариантных производных $\nabla_{k} g_{i j}=0$ от метрич. тензора $g_{i j}$. Условие б) эквивалентно соотношениям \[ \Gamma_{j k}^{i}=\Gamma_{k j}^{i} \] Для любого (псевдо)риманова многообразия $\left(M^{n}, g_{i j}\right.$ ) существует единственная Л.-Ч. с., к-рая в локальных координатах $\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$ вычисляется по формуле \[ \begin{gathered} \Gamma_{p q}^{i}=\frac{1}{2} g^{i s}\left(\frac{\partial g_{p s}}{\partial x^{q}}+\frac{\partial g_{q s}}{\partial x^{p}}-\frac{\partial g_{p q}}{\partial x^{s}}\right), \\ g^{i j} g_{j s}=\delta_{s}^{i} . \end{gathered} \]

связность на (псевдо)римановом многообразии $\left(M^{n}, g_{i j}\right)$, определяемая из следующих условий: a) в процессе параллельного переноса скалярное произведение векторов не меняется; б) аффинная связность симметрична, то есть ее тензор кручения равен нулю. Условие а) эквивалентно обращению в нуль всех ковариантных производных $\nabla_{k} g_{i j}=0$ от метрич. тензора $g_{i j}$. Условие б) эквивалентно соотношениям \[ \Gamma_{j k}^{i}=\Gamma_{k j}^{i} \] Для любого (псевдо)риманова многообразия $\left(M^{n}, g_{i j}\right.$ ) существует единственная Л.-Ч. с., к-рая в локальных координатах $\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$ вычисляется по формуле \[ \begin{gathered} \Gamma_{p q}^{i}=\frac{1}{2} g^{i s}\left(\frac{\partial g_{p s}}{\partial x^{q}}+\frac{\partial g_{q s}}{\partial x^{p}}-\frac{\partial g_{p q}}{\partial x^{s}}\right), \\ g^{i j} g_{j s}=\delta_{s}^{i} . \end{gathered} \]