ЛЕЖАНДРА ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

составная часть функциональной техники, общей для квантовой теории поля (евклидовой и псевдоевклидовой), квантовой статистики и теории классического случайного поля. Л. Ф. П. являются непосредственным обобщением обычных Лежандра преобразований функций, широко применяемых в механике и термодинамике: функции заменяются функционалами, обычные производные - вариационными. Хорошо изучены преобразования Лежандра производящего функционала связных функций Грина \[ W(a)=\ln \int D \varphi \exp S(\varphi, a), \] где $\int D \varphi . .-$ символ функционального интегрирования, $S-$ функционал действия общего вида \[ S(\varphi, a)=\sum_{n} \int \ldots \int d x_{1} \ldots d x_{n} a_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right) \] (терминология евклидовой теории, в псевдоевклидовой $S$ заменяется на $i S$ ). Функционал $S$ задается набором симметричных по перестановкам $x$ потенциалов $a_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, $n=1,2, \ldots$, величина $W-$ функционал от всех потенциалов $a$, его кратные вариационные производные по первому потенциалу $a_{1}(x)$ имеют смысл связных функций Грина в теории с действием $S$. Преобразование Лежандра $W$ по первому потенциалу $a_{1}$ называется первым (оно же - эффективное действие), по совокупности $a_{1}$ и $a_{2}-$ вторым, по совокупности $a^{\prime} \equiv\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right)-$ преобразованием порядка $m$. При этом $a=\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)$, где $a^{\prime \prime}-$ набор всех старших потенциалов $a_{n} \mathrm{c} n>m$, считающихся фиксированными параметрами. Преобразование порядка $m$ есть функционал \[ \Gamma_{m}\left(\alpha, a^{\prime \prime}\right)=W(a)-\sum_{n=1}^{m} \alpha_{n} a_{n} \] c \[ \alpha_{n} a_{n} \equiv \int \ldots \int d x_{1} \ldots d x_{n} \alpha_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) a_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \] в к-ром вместо $a^{\prime}$ новыми и независимыми переменными считаются сопряженные с $a_{n}, n \leqslant m$, полные функции Грина \[ \alpha_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\delta W(a) / \delta a_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\langle\varphi\left(x_{1}\right), \ldots, \varphi\left(x_{n}\right)\right\rangle, \] где $\langle. .$.$\rangle обозначает функциональное усреднение с весом$ $\exp S$. Из определения $\Gamma_{m}$ вытекают равенства: \[ \delta \Gamma_{m}\left(\alpha, a^{\prime \prime}\right) / \delta \alpha_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=-a_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \] эквивалентные условию стационарности по $\alpha$ функционала \[ \Phi_{m}(\alpha, a)=\Gamma_{m}\left(\alpha, a^{\prime \prime}\right)+\sum_{n=1}^{m} \alpha_{n} a_{n} \] при фиксированных $a$. В физич. задачах функции Грина $\alpha$ ищутся по заданному действию, то есть по $a$. На языке $\Phi_{m}$ задача определения первых $m$ функций $\alpha$ по $a$ становится вариационной, так что это - естественный язык для описания аномальных решений со спонтанным нарушением симметрии (теория фазовых переходов и т. п.): $\Phi_{m}$ всегда сохраняет симметрию действия, но может при этом иметь неинвариантные точки стационарности, инвариантна лишь их совокупность в целом. Важно, что сохранение симметрии у $\Phi_{m}$ позволяет вычислять этот функционал, в отличие от самих функций Грина $\alpha$, по обычной теории возмущений. Функционалы $W$ и $\Gamma_{m}$ имеют известные диаграммные представления, причем основная масса диаграмм $\Gamma_{m}$ (для $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}-$ все) обладает свойством реберной $m$-неприводимости, то есть сохраняет связность при разрыве любых $m$ линий. Более сложными и менее изученными объектами являются преобразования Лежандра функционала $S$-матрицы, диаграммы к-рых обладают свойствами вершинной неприводимости. Лит.: [1] Dominicis C. de, Martin P. C., «J. Math. Phys.», 1964, v. 5, p. 14-59; [2] Васильев А. Н., Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике, Л., 1976. А. Н. Васильев.

составная часть функциональной техники, общей для квантовой теории поля (евклидовой и псевдоевклидовой), квантовой статистики и теории классического случайного поля. Л. Ф. П. являются непосредственным обобщением обычных Лежандра преобразований функций, широко применяемых в механике и термодинамике: функции заменяются функционалами, обычные производные - вариационными. Хорошо изучены преобразования Лежандра производящего функционала связных функций Грина \[ W(a)=\ln \int D \varphi \exp S(\varphi, a), \] где $\int D \varphi . .-$ символ функционального интегрирования, $S-$ функционал действия общего вида \[ S(\varphi, a)=\sum_{n} \int \ldots \int d x_{1} \ldots d x_{n} a_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right) \] (терминология евклидовой теории, в псевдоевклидовой $S$ заменяется на $i S$ ). Функционал $S$ задается набором симметричных по перестановкам $x$ потенциалов $a_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, $n=1,2, \ldots$, величина $W-$ функционал от всех потенциалов $a$, его кратные вариационные производные по первому потенциалу $a_{1}(x)$ имеют смысл связных функций Грина в теории с действием $S$. Преобразование Лежандра $W$ по первому потенциалу $a_{1}$ называется первым (оно же - эффективное действие), по совокупности $a_{1}$ и $a_{2}-$ вторым, по совокупности $a^{\prime} \equiv\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right)-$ преобразованием порядка $m$. При этом $a=\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)$, где $a^{\prime \prime}-$ набор всех старших потенциалов $a_{n} \mathrm{c} n>m$, считающихся фиксированными параметрами. Преобразование порядка $m$ есть функционал \[ \Gamma_{m}\left(\alpha, a^{\prime \prime}\right)=W(a)-\sum_{n=1}^{m} \alpha_{n} a_{n} \] c \[ \alpha_{n} a_{n} \equiv \int \ldots \int d x_{1} \ldots d x_{n} \alpha_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) a_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \] в к-ром вместо $a^{\prime}$ новыми и независимыми переменными считаются сопряженные с $a_{n}, n \leqslant m$, полные функции Грина \[ \alpha_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\delta W(a) / \delta a_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\langle\varphi\left(x_{1}\right), \ldots, \varphi\left(x_{n}\right)\right\rangle, \] где $\langle. .$.$\rangle обозначает функциональное усреднение с весом$ $\exp S$. Из определения $\Gamma_{m}$ вытекают равенства: \[ \delta \Gamma_{m}\left(\alpha, a^{\prime \prime}\right) / \delta \alpha_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=-a_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \] эквивалентные условию стационарности по $\alpha$ функционала \[ \Phi_{m}(\alpha, a)=\Gamma_{m}\left(\alpha, a^{\prime \prime}\right)+\sum_{n=1}^{m} \alpha_{n} a_{n} \] при фиксированных $a$. В физич. задачах функции Грина $\alpha$ ищутся по заданному действию, то есть по $a$. На языке $\Phi_{m}$ задача определения первых $m$ функций $\alpha$ по $a$ становится вариационной, так что это - естественный язык для описания аномальных решений со спонтанным нарушением симметрии (теория фазовых переходов и т. п.): $\Phi_{m}$ всегда сохраняет симметрию действия, но может при этом иметь неинвариантные точки стационарности, инвариантна лишь их совокупность в целом. Важно, что сохранение симметрии у $\Phi_{m}$ позволяет вычислять этот функционал, в отличие от самих функций Грина $\alpha$, по обычной теории возмущений. Функционалы $W$ и $\Gamma_{m}$ имеют известные диаграммные представления, причем основная масса диаграмм $\Gamma_{m}$ (для $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}-$ все) обладает свойством реберной $m$-неприводимости, то есть сохраняет связность при разрыве любых $m$ линий. Более сложными и менее изученными объектами являются преобразования Лежандра функционала $S$-матрицы, диаграммы к-рых обладают свойствами вершинной неприводимости. Лит.: [1] Dominicis C. de, Martin P. C., «J. Math. Phys.», 1964, v. 5, p. 14-59; [2] Васильев А. Н., Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике, Л., 1976. А. Н. Васильев.