ЛИ АЛГЕБРА

векторное пространство, на котором введена операция коммутирования; а именно, любым двум элементам $x, y$ ставится в соответствие третий элемент $[x, y]$, называемый коммутатором, и при этом выполнены аксиомы: 1) $[\alpha x+\beta y, z]=\alpha[x, z]+\beta[y, z]$, где $\alpha, \beta$ - скаляры; 2) $[x, y]=-[y, x]$ (антикоммутативность); 3) (тождество Якоби). Если векторное пространство комплексное, то и Л. а. называется комплексной, а если вещественное, то вещественной. Простейший пример Л. а. - алгебра векторов в трехмерном пространстве с операцией векторного произведения. Другой пример - Л. а., строящаяся по любой ассоциативной алгебре, заменой операции умножения на операцию $[x, y]=x y-y x$. Главная причина, по к-рой важны Л. а., состоит в том, что по каждой группе Ли однозначно может быть построена алгебра Ли (см. Ли группа, Классические группы и алгебры $\boldsymbol{\Pi u})$. Пусть $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ - подалгебры в $\mathbb{S}$. Обозначим через $[\mathfrak{A}, \mathfrak{B}]$ множество, состоящее из всевозможных линейных комбинаций коммутаторов вида $[a, b]$, где $a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}$. И пусть $\mathbb{S}^{(0)}=\mathbb{S}, \mathbb{S}^{(1)}=\left[\mathbb{S}^{(0)}, \mathbb{S}^{(0)}\right], \ldots, \mathfrak{S}^{(i+1)}=\left[\mathfrak{S}^{(i)}, \mathbb{S}^{(i)}\right], \ldots$ Л. а. называется разрешимой, если при достаточно большом $j$ выполнено $\mathbb{S}^{(j)}=0$. Всякое $\mathbb{S}^{(i)}$ является идеалом в $\mathbb{S}$, а факторалгебра $\mathbb{S}^{(i+1)} / \mathfrak{S}^{(i)}-$ абелева (то есть коммутатор любых ее двух элементов равен нулю). Верно и обратное: если в алгебре есть цепочка идеалов \[ \left(s=n_{0} \supset n_{1} \supset \ldots \supset n_{k}=0\right. \] такая, что $n_{j} / n_{j+1}$ - абелева алгебра, то $\mathbb{S}$ разрешима. Простейший пример разрешимой Л. а. - алгебра $B_{n}$ всех верхнетреугольных матриц размера $n \times n$. Любая разрешимая Л. а. может быть реализована как подалгебра нек-рой алгебры $B_{n}$. Любое неприводимое конечномерное представление разрешимой Л. а. одномерно. Любое конечномерное представление разрешимой Л. а. в нек-ром базисе задается верхнетреугольными матрицами. Пусть $\mathscr{S}-$ Л. а. и пусть $\mathbb{S}_{0}=\mathbb{S}, \mathbb{S}_{1}=\left[\mathbb{S}, \mathbb{S}_{0}\right], \ldots, \mathbb{S}_{i+1}=$ $=\left[\mathbb{\mho}, \mathfrak{S}_{i}\right], \ldots$ Л. а. называется нильпотентной, если $\mathfrak{S}_{j}=0$ при нек-ром $j$. Эквивалентное определение: существует $n$ такое, что любой коммутатор $\left[x_{1}\left[x_{2}, \ldots\left[x_{n-1}, x_{n}\right]\right]\right]$ длины $n$ равен 0. Л. а. нильпотентна тогда и только тогда, когда любой линейный оператор вида $\mathrm{ad}_{x}: y \rightarrow[\bar{x}, y]$ в пространстве $\mathbb{S}$ нильпотентен. Нильпотентная Л. а. разрешима. Если $\mathbb{S}$ разрешима, то $[\mathbb{S}, \mathbb{S}]$ нильпотентна. Л. а. называется полупростой, если она не содержит абелевых идеалов. Полупростые алгебры - это самый важный класс Л. а., как в математике, так и в математич. физике. Л. а. полупроста тогда и только тогда, когда она является прямой суммой простых Л. а. (см. Простая алгебра). Любое конечномерное представление полупростой Л. а. вполне приводимо, все неприводимые конечномерные представления полупростых Л. а. допускают простую параметризацию. Любая конечномерная Л. а. может быть реализована как подалгебра алгебры всех матриц (теорема Адо). Все разрешимые (соответственно, нильпотентные) идеалы Л. а. $\mathbb{S}$ содержатся в одном большом разрешимом идеале, к-рый называется радикалом (соответственно, нильрадикалом). Пусть $R$ - радикал в $\mathbb{S}$. Тогда существует полупростая подалгебра $\mathfrak{y}$ в $\mathbb{S}$ такая, что $\mathbb{S}$ разлагается в прямую сумму $R$ и $\mathfrak{y}$ (теорема Леви-Мальцева).

векторное пространство, на котором введена операция коммутирования; а именно, любым двум элементам $x, y$ ставится в соответствие третий элемент $[x, y]$, называемый коммутатором, и при этом выполнены аксиомы: 1) $[\alpha x+\beta y, z]=\alpha[x, z]+\beta[y, z]$, где $\alpha, \beta$ - скаляры; 2) $[x, y]=-[y, x]$ (антикоммутативность); 3) (тождество Якоби). Если векторное пространство комплексное, то и Л. а. называется комплексной, а если вещественное, то вещественной. Простейший пример Л. а. - алгебра векторов в трехмерном пространстве с операцией векторного произведения. Другой пример - Л. а., строящаяся по любой ассоциативной алгебре, заменой операции умножения на операцию $[x, y]=x y-y x$. Главная причина, по к-рой важны Л. а., состоит в том, что по каждой группе Ли однозначно может быть построена алгебра Ли (см. Ли группа, Классические группы и алгебры $\boldsymbol{\Pi u})$. Пусть $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ - подалгебры в $\mathbb{S}$. Обозначим через $[\mathfrak{A}, \mathfrak{B}]$ множество, состоящее из всевозможных линейных комбинаций коммутаторов вида $[a, b]$, где $a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}$. И пусть $\mathbb{S}^{(0)}=\mathbb{S}, \mathbb{S}^{(1)}=\left[\mathbb{S}^{(0)}, \mathbb{S}^{(0)}\right], \ldots, \mathfrak{S}^{(i+1)}=\left[\mathfrak{S}^{(i)}, \mathbb{S}^{(i)}\right], \ldots$ Л. а. называется разрешимой, если при достаточно большом $j$ выполнено $\mathbb{S}^{(j)}=0$. Всякое $\mathbb{S}^{(i)}$ является идеалом в $\mathbb{S}$, а факторалгебра $\mathbb{S}^{(i+1)} / \mathfrak{S}^{(i)}-$ абелева (то есть коммутатор любых ее двух элементов равен нулю). Верно и обратное: если в алгебре есть цепочка идеалов \[ \left(s=n_{0} \supset n_{1} \supset \ldots \supset n_{k}=0\right. \] такая, что $n_{j} / n_{j+1}$ - абелева алгебра, то $\mathbb{S}$ разрешима. Простейший пример разрешимой Л. а. - алгебра $B_{n}$ всех верхнетреугольных матриц размера $n \times n$. Любая разрешимая Л. а. может быть реализована как подалгебра нек-рой алгебры $B_{n}$. Любое неприводимое конечномерное представление разрешимой Л. а. одномерно. Любое конечномерное представление разрешимой Л. а. в нек-ром базисе задается верхнетреугольными матрицами. Пусть $\mathscr{S}-$ Л. а. и пусть $\mathbb{S}_{0}=\mathbb{S}, \mathbb{S}_{1}=\left[\mathbb{S}, \mathbb{S}_{0}\right], \ldots, \mathbb{S}_{i+1}=$ $=\left[\mathbb{\mho}, \mathfrak{S}_{i}\right], \ldots$ Л. а. называется нильпотентной, если $\mathfrak{S}_{j}=0$ при нек-ром $j$. Эквивалентное определение: существует $n$ такое, что любой коммутатор $\left[x_{1}\left[x_{2}, \ldots\left[x_{n-1}, x_{n}\right]\right]\right]$ длины $n$ равен 0. Л. а. нильпотентна тогда и только тогда, когда любой линейный оператор вида $\mathrm{ad}_{x}: y \rightarrow[\bar{x}, y]$ в пространстве $\mathbb{S}$ нильпотентен. Нильпотентная Л. а. разрешима. Если $\mathbb{S}$ разрешима, то $[\mathbb{S}, \mathbb{S}]$ нильпотентна. Л. а. называется полупростой, если она не содержит абелевых идеалов. Полупростые алгебры - это самый важный класс Л. а., как в математике, так и в математич. физике. Л. а. полупроста тогда и только тогда, когда она является прямой суммой простых Л. а. (см. Простая алгебра). Любое конечномерное представление полупростой Л. а. вполне приводимо, все неприводимые конечномерные представления полупростых Л. а. допускают простую параметризацию. Любая конечномерная Л. а. может быть реализована как подалгебра алгебры всех матриц (теорема Адо). Все разрешимые (соответственно, нильпотентные) идеалы Л. а. $\mathbb{S}$ содержатся в одном большом разрешимом идеале, к-рый называется радикалом (соответственно, нильрадикалом). Пусть $R$ - радикал в $\mathbb{S}$. Тогда существует полупростая подалгебра $\mathfrak{y}$ в $\mathbb{S}$ такая, что $\mathbb{S}$ разлагается в прямую сумму $R$ и $\mathfrak{y}$ (теорема Леви-Мальцева).