ЛИ ГРУППА

название наиболее естественных и часто встречающихся бесконечных групп. Теория групп и алгебр Ли была в основных чертах построена в 1870-1910; наиболее значительным был вклад С. Ли (S. Lie), В. Киллинга (W. Killing) и Э. Картана (Е. Cartan). 1. Определение. Группа Ли $G-$ это множество, К-рое одновременно является дифференцируемым многообразием и группой, причем операция умножения дифференцируема (то есть дифференцируема функция $(x, y) \rightarrow x y$ двух переменных $x, y \in G$, принимающая значения в $G$ ). Размерностью группы называется размерность соответствующего многообразия. Если $G$ - комплексное многообразие, а операция умножения является комплексно аналитической, то $G$ называется комплексной группой Ли. 2. Матричные группы. Простейший пример Л. г.- группа $G L(n, \mathbb{R})$ всех действительных обратимых матриц размера $n \times n$. Большинство интересных Л. г. может быть реализовано как матричные группы (называемые также линейными группами), то есть как подгруппы в $G L(n)$. Следующие два примера являются своего рода образцами для более сложных конструкций. Первый пример - вращений группа. Каждое вращение задается матрицей $X$ размера $3 \times 3$, удовлетворяющей условию $X X^{\prime}=E$, где $E-$ единичная матрица, а $X^{\prime}$ - транспонированная матрица к матрице $X$. Матричное равенство $X X^{\prime}=E$ эквивалентно системе из 9 уравнений на 9 матричных элементах матрицы $X$. Эти уравнения, однако, зависимы и задают в 9-мерном пространстве трехмерную гладкую поверхность. Таким образом, группа вращений является трехмерной группой Ли. Другой пример - группа $B$ (соответственно, $N$ ) верхнетреугольных матриц с единицами (соответственно, с ненулевыми элементами) на главной диагонали. Не любая Л. г. может быть реализована как матричная группа, однако любая Л. г. локально изоморфна нек-рой матричной группе (группы $G_{1}$ и $G$ называются локально изоморфными, если существует сохраняющее умножение взаимно однозначное отображение окрестности единицы в $G_{1}$ на окрестность единицы в $G_{2}$; напр., локально изоморфны группа $\mathbb{R}$ действительных чисел по сложению и группа поворотов плоскости). 3. Теория Ли. По любой Л. г. может быть однозначно построена Ли алгебра. Такая конструкция для матричной группы выглядит следующим образом. Группа $G \subset G L(n, \mathbb{R})$ представляет собой поверхность в пространстве $\mathbb{R}^{n^{2}}$ всех матриц размера $n \times n$. Рассматривается касательное пространство $T$ к этой поверхности в точке $E$. Через $\mathbb{S}$ обозначается множество всех касательных векторов, то есть матриц вида $A-E$, где $A \in T$. Ясно, что $\mathbb{S}$ - подпространство в $\mathbb{R}^{n^{2}}$, более того, для любых $P, Q \in \mathbb{S}$ коммутатор $[P, Q]=P, Q-Q P$ тоже принадлежит $\mathbb{S}$. Таким образом, на $\mathbb{S}$ имеется структура алгебры Ли. Если $P \in \mathbb{S}$, то \[ \exp (P)=e^{P} \] содержится в $G$, а если $X \in G$ и $X$ достаточно близок к $E$, то \[ \ln X=\sum(-1)^{n+1}(X-E)^{n} \] содержится в $\mathbb{S}$. Отображение $P \rightarrow e^{P}$ называется экспоненциальным. Если $G$ - группа вращений, то $\mathbb{S}$ будет алгеброй кососимметрич. матриц. Пусть теперь $G$ - произвольная (не обязательно матричная) группа Ли размерности $n, e$ - единица группы $G$. В окрестности точки $e$ вводятся локальные координаты $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k}$ так, что $e$ имеет координаты $(0, \ldots, 0)$. Пусть $\boldsymbol{A}(\varepsilon)$ и $\boldsymbol{B}(\varepsilon)-$ точки с координатами $\varepsilon a_{j}$ и $\varepsilon b_{j}$, где $\varepsilon$ мало. Разложим выражение \[ K(\varepsilon)=A(\varepsilon) B(\varepsilon) A(\varepsilon)^{-1} B(\varepsilon)^{-1} \] в ряд по $\varepsilon$: \[ K(\varepsilon)=\varepsilon^{2} c(a, b)+\varepsilon^{3} d(a, b)+\ldots \] Далее вводится коммутатор в $\mathbb{R}^{k}$ по формуле $[a, b]=c(a, b)$. Эта операция задает в $\mathbb{S}=\mathbb{R}^{k}$ структуру алгебры Ли. Любая конечномерная алгебра Ли является алгеброй Ли нек-рой Л. г. По алгебре Ли Л. г. восстанавливается неоднозначно, но эта неоднозначность, однако, не велика. Все Л. г. с данной алгеброй Ли $\mathbb{S}$ локально изоморфны. Среди них существует единственная односвязная группа $\widetilde{G}$, и любая другая из них является факторгруппой группы $\widetilde{G}$ по дискретной (см. Топологическая группа) подгруппе, лежащей в центре группы $\widetilde{G}$. Простейший пример Л. г., имеющих одну алгебру Ли, - это односвязная группа $S U(2)$ унитарных матриц размера $2 \times 2$ с определителем 1 и группа вращений, изоморфная факторгруппе группы $S U(2)$ по подгруппе, состоящей из матриц $\pm E$. Изучение Л. г. в значительной степени сводится к изучению их алгебр Ли. Пусть, напр., $G$ и $G^{\prime}-$ Л. г., а $\mathbb{S}$ и $\mathbb{S}^{\prime}$ их алгебры Ли. Тогда по любому гомоморфизму $G \rightarrow G^{\prime}$ строится канонич. гомоморфизм $\mathbb{S} \rightarrow \mathbb{S}^{\prime}$, любому представлению группы $G$ соответствует представление алгебры $\mathbb{S}$ (см. Представление алгебры Ли); любой замкнутой подгруппе в $G$ соответствует подалгебра в $\mathbb{S}$, а замкнутому нормальному делителю в $G-$ идеал в $\mathbb{S}$; если $G$ действует на многообразии $M$, то и $\mathbb{S}$ действует на $M$, и т. д. Напр., пусть группа $G$ действует на многообразии $M$. Введем на $M$ локальные координаты. Пусть $P \in \mathbb{S}$ и разложение преобразования $\exp (\varepsilon P): M \rightarrow M$ в ряд по $\varepsilon:$ \[ \exp (\varepsilon P) m=m+\varepsilon v_{P}(m)+\ldots \] Таким образом, для каждой точки $m$ получается вектор $v_{P}(m)$, то есть по каждому элементу $P$ алгебры $\mathbb{S}$ построено векторное поле $v_{P}$ на $M$. Оказывается, что \[ v[P, Q]=\left[v_{P}, v_{Q}\right] \] (в правой части стоит коммутатор, или скобка Ли, векторных полей $v_{P}$ и $v_{Q}$ ). Тем самым получено так наз. действие алгебры Ли на многообразии (отсюда ясно происхождение старого названия алгебры Ли - инфинитезимальная группа Ли). 4. Бесконечномерные группы Ли. Строго математич. определения бесконечномерных Л. г. нет; существуют, однако, содержательные объекты, к-рые называются бесконечномерными группами Ли. Это бесконечномерные аналоги классич. групп, группа диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}\left(M^{n}\right)$ многообразия $M^{n}$ и группы токов $C\left(M^{n}, G\right)$, то есть группы функций на $M^{n}$ со значениями в группе Ли $G$ и т. п. Особенно важен случай, когда многообразие $M^{n}$ является окружностью.

название наиболее естественных и часто встречающихся бесконечных групп. Теория групп и алгебр Ли была в основных чертах построена в 1870-1910; наиболее значительным был вклад С. Ли (S. Lie), В. Киллинга (W. Killing) и Э. Картана (Е. Cartan). 1. Определение. Группа Ли $G-$ это множество, К-рое одновременно является дифференцируемым многообразием и группой, причем операция умножения дифференцируема (то есть дифференцируема функция $(x, y) \rightarrow x y$ двух переменных $x, y \in G$, принимающая значения в $G$ ). Размерностью группы называется размерность соответствующего многообразия. Если $G$ - комплексное многообразие, а операция умножения является комплексно аналитической, то $G$ называется комплексной группой Ли. 2. Матричные группы. Простейший пример Л. г.- группа $G L(n, \mathbb{R})$ всех действительных обратимых матриц размера $n \times n$. Большинство интересных Л. г. может быть реализовано как матричные группы (называемые также линейными группами), то есть как подгруппы в $G L(n)$. Следующие два примера являются своего рода образцами для более сложных конструкций. Первый пример - вращений группа. Каждое вращение задается матрицей $X$ размера $3 \times 3$, удовлетворяющей условию $X X^{\prime}=E$, где $E-$ единичная матрица, а $X^{\prime}$ - транспонированная матрица к матрице $X$. Матричное равенство $X X^{\prime}=E$ эквивалентно системе из 9 уравнений на 9 матричных элементах матрицы $X$. Эти уравнения, однако, зависимы и задают в 9-мерном пространстве трехмерную гладкую поверхность. Таким образом, группа вращений является трехмерной группой Ли. Другой пример - группа $B$ (соответственно, $N$ ) верхнетреугольных матриц с единицами (соответственно, с ненулевыми элементами) на главной диагонали. Не любая Л. г. может быть реализована как матричная группа, однако любая Л. г. локально изоморфна нек-рой матричной группе (группы $G_{1}$ и $G$ называются локально изоморфными, если существует сохраняющее умножение взаимно однозначное отображение окрестности единицы в $G_{1}$ на окрестность единицы в $G_{2}$; напр., локально изоморфны группа $\mathbb{R}$ действительных чисел по сложению и группа поворотов плоскости). 3. Теория Ли. По любой Л. г. может быть однозначно построена Ли алгебра. Такая конструкция для матричной группы выглядит следующим образом. Группа $G \subset G L(n, \mathbb{R})$ представляет собой поверхность в пространстве $\mathbb{R}^{n^{2}}$ всех матриц размера $n \times n$. Рассматривается касательное пространство $T$ к этой поверхности в точке $E$. Через $\mathbb{S}$ обозначается множество всех касательных векторов, то есть матриц вида $A-E$, где $A \in T$. Ясно, что $\mathbb{S}$ - подпространство в $\mathbb{R}^{n^{2}}$, более того, для любых $P, Q \in \mathbb{S}$ коммутатор $[P, Q]=P, Q-Q P$ тоже принадлежит $\mathbb{S}$. Таким образом, на $\mathbb{S}$ имеется структура алгебры Ли. Если $P \in \mathbb{S}$, то \[ \exp (P)=e^{P} \] содержится в $G$, а если $X \in G$ и $X$ достаточно близок к $E$, то \[ \ln X=\sum(-1)^{n+1}(X-E)^{n} \] содержится в $\mathbb{S}$. Отображение $P \rightarrow e^{P}$ называется экспоненциальным. Если $G$ - группа вращений, то $\mathbb{S}$ будет алгеброй кососимметрич. матриц. Пусть теперь $G$ - произвольная (не обязательно матричная) группа Ли размерности $n, e$ - единица группы $G$. В окрестности точки $e$ вводятся локальные координаты $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k}$ так, что $e$ имеет координаты $(0, \ldots, 0)$. Пусть $\boldsymbol{A}(\varepsilon)$ и $\boldsymbol{B}(\varepsilon)-$ точки с координатами $\varepsilon a_{j}$ и $\varepsilon b_{j}$, где $\varepsilon$ мало. Разложим выражение \[ K(\varepsilon)=A(\varepsilon) B(\varepsilon) A(\varepsilon)^{-1} B(\varepsilon)^{-1} \] в ряд по $\varepsilon$: \[ K(\varepsilon)=\varepsilon^{2} c(a, b)+\varepsilon^{3} d(a, b)+\ldots \] Далее вводится коммутатор в $\mathbb{R}^{k}$ по формуле $[a, b]=c(a, b)$. Эта операция задает в $\mathbb{S}=\mathbb{R}^{k}$ структуру алгебры Ли. Любая конечномерная алгебра Ли является алгеброй Ли нек-рой Л. г. По алгебре Ли Л. г. восстанавливается неоднозначно, но эта неоднозначность, однако, не велика. Все Л. г. с данной алгеброй Ли $\mathbb{S}$ локально изоморфны. Среди них существует единственная односвязная группа $\widetilde{G}$, и любая другая из них является факторгруппой группы $\widetilde{G}$ по дискретной (см. Топологическая группа) подгруппе, лежащей в центре группы $\widetilde{G}$. Простейший пример Л. г., имеющих одну алгебру Ли, - это односвязная группа $S U(2)$ унитарных матриц размера $2 \times 2$ с определителем 1 и группа вращений, изоморфная факторгруппе группы $S U(2)$ по подгруппе, состоящей из матриц $\pm E$. Изучение Л. г. в значительной степени сводится к изучению их алгебр Ли. Пусть, напр., $G$ и $G^{\prime}-$ Л. г., а $\mathbb{S}$ и $\mathbb{S}^{\prime}$ их алгебры Ли. Тогда по любому гомоморфизму $G \rightarrow G^{\prime}$ строится канонич. гомоморфизм $\mathbb{S} \rightarrow \mathbb{S}^{\prime}$, любому представлению группы $G$ соответствует представление алгебры $\mathbb{S}$ (см. Представление алгебры Ли); любой замкнутой подгруппе в $G$ соответствует подалгебра в $\mathbb{S}$, а замкнутому нормальному делителю в $G-$ идеал в $\mathbb{S}$; если $G$ действует на многообразии $M$, то и $\mathbb{S}$ действует на $M$, и т. д. Напр., пусть группа $G$ действует на многообразии $M$. Введем на $M$ локальные координаты. Пусть $P \in \mathbb{S}$ и разложение преобразования $\exp (\varepsilon P): M \rightarrow M$ в ряд по $\varepsilon:$ \[ \exp (\varepsilon P) m=m+\varepsilon v_{P}(m)+\ldots \] Таким образом, для каждой точки $m$ получается вектор $v_{P}(m)$, то есть по каждому элементу $P$ алгебры $\mathbb{S}$ построено векторное поле $v_{P}$ на $M$. Оказывается, что \[ v[P, Q]=\left[v_{P}, v_{Q}\right] \] (в правой части стоит коммутатор, или скобка Ли, векторных полей $v_{P}$ и $v_{Q}$ ). Тем самым получено так наз. действие алгебры Ли на многообразии (отсюда ясно происхождение старого названия алгебры Ли - инфинитезимальная группа Ли). 4. Бесконечномерные группы Ли. Строго математич. определения бесконечномерных Л. г. нет; существуют, однако, содержательные объекты, к-рые называются бесконечномерными группами Ли. Это бесконечномерные аналоги классич. групп, группа диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}\left(M^{n}\right)$ многообразия $M^{n}$ и группы токов $C\left(M^{n}, G\right)$, то есть группы функций на $M^{n}$ со значениями в группе Ли $G$ и т. п. Особенно важен случай, когда многообразие $M^{n}$ является окружностью.