ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ

уравнение эволюции системы. В классич. статистич. механике эволюция системы во времени описывается посредством зависящей от времени функции распределения. При этом функция распределения должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению с частными производными с соответствующим начальным условием \[ \left.\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial t}=\{H, f\}, \quad f(q, p, t=0)=f(q, p, 0), \\ (q, p)=\left(\overrightarrow{q_{1}}, \ldots, \vec{q}_{N} ; \vec{p}_{1}, \ldots, \vec{p}_{N}\right), \end{array}\right\}, \] где $H$ - гамильтониан системы, к-рый может явно зависеть от времени, а $\{H, f\}$ - скобка Пуассона: \[ \{H, f\}=\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{\partial H}{\partial \vec{q}_{k}} \frac{\partial f}{\partial \vec{p}_{k}}-\frac{\partial H}{\partial \vec{p}_{k}} \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{q}_{k}}\right) \] Уравнение (1) называется уравнением Лиувилля. Это уравнение можно интерпретировать как уравнение непрерывности для движения фазовых точек в фазовом пространстве системы. Оно дает возможность определить функцию распределения в любой момент времени, если она известна в начальный момент времени. Если гамильтониан системы не зависит от времени явно, то формальное решение Л. у. может быть представлено в виде: \[ f(q, p, t)=\exp (i L t) f(q, p, 0), \] где эрмитов оператор $L$ - так наз. оператор Лиувилля, определяемый соотношением \[ i L f=\{H, f\} . \] Л. у. описывает обратимую эволюцию системы. В случае статистич. равновесия Л. у. имеет вид: \[ \{H, f\}=0, \] и функция распределения является интегралом движения. В формализме статистич. механики допускается альтернативное эквивалентное изложенному выше описание эволюции системы, к-рое предполагает, что функция распределения системы не зависит от времени, а временная зависимость макроскопич. наблюдаемых обусловлена временной зависимостью соответствующих динамич. микроскопич. переменных. Эта зависимость определяется уравнением, подобным Л. у. \[ \frac{\partial A}{\partial t}=\{A, H\} \] в случае, когда динамич. переменная $A$ не зависит явно от времени. Если гамильтониан системы не зависит явно от времени, то уравнение (2) допускает формальное решение \[ A(t)=\exp (-i L t) A(0) . \] Оператор $\exp (-i L t)$ называется оператором эволюции. При действии на произвольную функцию, заданную в фазовом пространстве системы, он переводит ее в функцию $A_{1}(q(t), p(t))$, то есть \[ \exp (-i L t) A_{1}(q(0), p(0))=A_{1}(q(t), p(t)), \] где $q(t), p(t)$ - решения уравнений Гамильтона с гамильтонианом $H$, не зависящим явно от времени и с начальными условиями \[ \left.q(t)\right|_{t=0}=q(0),\left.p(t)\right|_{t=0}=p(0) . \] Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Проблемы динамической теории в статистической физике, М.- Л., 1946; [2] Петрина Д. Я., Герасименко В. И., Малышев П. В., Математические основы классической статистической механики, Киев, 1985. А. В. Солдатов.

уравнение эволюции системы. В классич. статистич. механике эволюция системы во времени описывается посредством зависящей от времени функции распределения. При этом функция распределения должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению с частными производными с соответствующим начальным условием \[ \left.\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial t}=\{H, f\}, \quad f(q, p, t=0)=f(q, p, 0), \\ (q, p)=\left(\overrightarrow{q_{1}}, \ldots, \vec{q}_{N} ; \vec{p}_{1}, \ldots, \vec{p}_{N}\right), \end{array}\right\}, \] где $H$ - гамильтониан системы, к-рый может явно зависеть от времени, а $\{H, f\}$ - скобка Пуассона: \[ \{H, f\}=\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{\partial H}{\partial \vec{q}_{k}} \frac{\partial f}{\partial \vec{p}_{k}}-\frac{\partial H}{\partial \vec{p}_{k}} \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{q}_{k}}\right) \] Уравнение (1) называется уравнением Лиувилля. Это уравнение можно интерпретировать как уравнение непрерывности для движения фазовых точек в фазовом пространстве системы. Оно дает возможность определить функцию распределения в любой момент времени, если она известна в начальный момент времени. Если гамильтониан системы не зависит от времени явно, то формальное решение Л. у. может быть представлено в виде: \[ f(q, p, t)=\exp (i L t) f(q, p, 0), \] где эрмитов оператор $L$ - так наз. оператор Лиувилля, определяемый соотношением \[ i L f=\{H, f\} . \] Л. у. описывает обратимую эволюцию системы. В случае статистич. равновесия Л. у. имеет вид: \[ \{H, f\}=0, \] и функция распределения является интегралом движения. В формализме статистич. механики допускается альтернативное эквивалентное изложенному выше описание эволюции системы, к-рое предполагает, что функция распределения системы не зависит от времени, а временная зависимость макроскопич. наблюдаемых обусловлена временной зависимостью соответствующих динамич. микроскопич. переменных. Эта зависимость определяется уравнением, подобным Л. у. \[ \frac{\partial A}{\partial t}=\{A, H\} \] в случае, когда динамич. переменная $A$ не зависит явно от времени. Если гамильтониан системы не зависит явно от времени, то уравнение (2) допускает формальное решение \[ A(t)=\exp (-i L t) A(0) . \] Оператор $\exp (-i L t)$ называется оператором эволюции. При действии на произвольную функцию, заданную в фазовом пространстве системы, он переводит ее в функцию $A_{1}(q(t), p(t))$, то есть \[ \exp (-i L t) A_{1}(q(0), p(0))=A_{1}(q(t), p(t)), \] где $q(t), p(t)$ - решения уравнений Гамильтона с гамильтонианом $H$, не зависящим явно от времени и с начальными условиями \[ \left.q(t)\right|_{t=0}=q(0),\left.p(t)\right|_{t=0}=p(0) . \] Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Проблемы динамической теории в статистической физике, М.- Л., 1946; [2] Петрина Д. Я., Герасименко В. И., Малышев П. В., Математические основы классической статистической механики, Киев, 1985. А. В. Солдатов.