ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

потенциал с логарифмическим ядром \[ \ln \frac{1}{|x-y|} \] где $|x-y|-$ расстояние между точками $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ евклидова плоскости $\mathbb{R}^{2}$, то есть потенциал вида \[ u(x)=\int_{S} \ln \frac{1}{|x-y|} d \mu(y) \] где интегрирование производится, вообще говоря, по произвольной борелевской мере $\mu$ на $\mathbb{R}^{2}$ с компактным носителем $S=S(\mu)$. Физически можно представить, что Л. п. возникает из ньютонова потенциала сил тяготения, когда распределение притягивающих масс в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{3}$ точек $y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)$ не зависит, напр., от координаты $y_{3}$. Общая масса при этом, разумеется, бесконечна, но если произвести регуляризацию получающейся силы притяжения $F$, к-рую можно считать действующей в плоскости $\left(x_{1}, x_{2}, 0\right)$, состоящую в отбрасывании бесконечного слагаемого, то потенциал конечной части силы $F$ будет иметь как раз вид (1). В отличие от ньютонова, логарифмич. ядро имеет особенность не только при $|x-y| \rightarrow 0$, но и при $|x-y| \rightarrow \infty$, что обусловливает нек-рые отличия в поведении Л. п. по сравнению с ньютоновым. Они проявляются главным образом при решении внешних краевых задач (см. Внешняя и внутренняя краевые задачи). Основные применения Л. п. находит при решении плоских краевых задач теории потенциала. Основные свойства Л. п.: 1) вне носителя $S$ меры $\mu$ Л. п. является регулярным решением Лапласа уравнения $\Delta u=0$, то есть $u(x)$ - гармонич. функция на открытом множестве $\mathbb{R}^{2} \backslash S$, не регулярная, однако, на бесконечности; 2) если мера $\mu$ абсолютно непрерывна, то есть интеграл (1) принимает вид: \[ u(x)=\int_{D} \ln \frac{1}{|x-y|} f(y) d \sigma(y) \] где $D$ - конечная область, $d \sigma(y)$ - элемент площади $D$ и плотность $f(y)$ принадлежит классу $C^{1}(D \cup \partial D)$, то вторые производные $u(x)$ непрерывны в $D$ и удовлетворяют Пуассона уравнению $\Delta u=-2 \pi f(y)$.

потенциал с логарифмическим ядром \[ \ln \frac{1}{|x-y|} \] где $|x-y|-$ расстояние между точками $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ евклидова плоскости $\mathbb{R}^{2}$, то есть потенциал вида \[ u(x)=\int_{S} \ln \frac{1}{|x-y|} d \mu(y) \] где интегрирование производится, вообще говоря, по произвольной борелевской мере $\mu$ на $\mathbb{R}^{2}$ с компактным носителем $S=S(\mu)$. Физически можно представить, что Л. п. возникает из ньютонова потенциала сил тяготения, когда распределение притягивающих масс в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{3}$ точек $y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)$ не зависит, напр., от координаты $y_{3}$. Общая масса при этом, разумеется, бесконечна, но если произвести регуляризацию получающейся силы притяжения $F$, к-рую можно считать действующей в плоскости $\left(x_{1}, x_{2}, 0\right)$, состоящую в отбрасывании бесконечного слагаемого, то потенциал конечной части силы $F$ будет иметь как раз вид (1). В отличие от ньютонова, логарифмич. ядро имеет особенность не только при $|x-y| \rightarrow 0$, но и при $|x-y| \rightarrow \infty$, что обусловливает нек-рые отличия в поведении Л. п. по сравнению с ньютоновым. Они проявляются главным образом при решении внешних краевых задач (см. Внешняя и внутренняя краевые задачи). Основные применения Л. п. находит при решении плоских краевых задач теории потенциала. Основные свойства Л. п.: 1) вне носителя $S$ меры $\mu$ Л. п. является регулярным решением Лапласа уравнения $\Delta u=0$, то есть $u(x)$ - гармонич. функция на открытом множестве $\mathbb{R}^{2} \backslash S$, не регулярная, однако, на бесконечности; 2) если мера $\mu$ абсолютно непрерывна, то есть интеграл (1) принимает вид: \[ u(x)=\int_{D} \ln \frac{1}{|x-y|} f(y) d \sigma(y) \] где $D$ - конечная область, $d \sigma(y)$ - элемент площади $D$ и плотность $f(y)$ принадлежит классу $C^{1}(D \cup \partial D)$, то вторые производные $u(x)$ непрерывны в $D$ и удовлетворяют Пуассона уравнению $\Delta u=-2 \pi f(y)$.