МАКСВЕЛЛА-БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

статистически равновесная функция распределения $f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r})$ по импульсам $\boldsymbol{p}$ и координатам $\boldsymbol{r}$ частиц (атомов, молекул) идеального газа, которые подчиняются классической механике и находятся во внешнем потенциальном поле: \[ f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r})=A \exp \left\{-\left(\boldsymbol{p}^{2} / 2 m+U(\boldsymbol{r})\right) / k T\right\}, \] где $p^{2} / 2 m-$ кинетическая энергия частицы с массой $m$, $U(\boldsymbol{r})$ - ее потенциальная энергия во внешнем поле, $T-$ абсолютная температура газа. Постоянная $A$ определяется из условия, что суммарное число частиц по всем возможным состояниям равно полному числу частиц $N$ в системе (условие нормировки). М.-Б. р. есть следствие статистики Больцмана идеального газа, находящегося во внешнем потенциальном поле [Л. Больцман (L. Boltzmann), 1868-71]. Частным случаем М.-Б. р. при $U(\boldsymbol{r})=0$ в формуле (1) является распределение Максвелла по скоростям [Дж. Максвелл (J. Maxwell), 1859]: \[ f(v)=n(m / 2 \pi k T)^{3 / 2} \exp \left\{-m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right) / 2 k T\right\}, \] где $n-$ число частиц в единице объема. Распределением Максвелла называется распределение $F(v)$ частиц по абсолютным значениям скоростей $v$: \[ d n=F(v) d v=4 \pi n(m / 2 \pi k T)^{3 / 2} \exp \left(-m v^{2} / 2 k T\right) v^{2} d v . \] Оно достигает максимума при скорости $v_{m}=\sqrt{2 k T / m}$, называемой наиболее вероятной скоростью. Для молекулярного водорода при $T=273 \mathrm{~K} v_{m}=1506 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. При помощи (3) можно вычислить среднее значение любой функции от скорости, напр. среднюю скорость $\bar{v}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} v_{m}$, среднюю квадратичную скорость $\bar{v}^{2}=3 k T / m$. М.-Б. р. можно получить из Гиббса распределения для газа, подчиняющегося классич. статистич. механике, в к-ром взаимодействием частиц можно пренебречь. М.-Б. р. не зависит от взаимодействия между частицами и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно классич. описание. Оно справедливо также для броуновских частиц, взвешенных в жидкости. М.-Б. р. есть решение Больцмана кинетического уравнения для частного случая статистич. равновесия. М.-Б. р., проинтегрированное по всем скоростям частиц, называется функцией распределения Больцмана: \[ n(\boldsymbol{r})=n_{0} \exp (-U(\boldsymbol{r}) / k T), \] где $n_{0}$ - плотность числа частиц системы в отсутствие внешнего поля. Отношение плотностей числа частиц в различных точках пространства зависит от разности потенциальной энергии для этих точек: \[ n_{1} / n_{2}=\exp (-\Delta U(\boldsymbol{r}) / k T), \] где $\Delta U(\boldsymbol{r})=U\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)-U\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)$. В частности, из (4) следует барометрич. формула, определяющая отношение плотностей молекул газа для двух точек в поле тяготения над земной поверхностью. В этом случае $\Delta U=m g h$, где $g$ - ускорение свободного падения, $h$ - высота над земной поверхностью. М.-Б. р. справедливо, когда среднее расстояние между частицами значительно больше длины волны де Бройля, соответствующей тепловой скорости. Лит.: [1] Руммер Ю. Б., Рывкин М. Н., Термодинамика, статистическая физика и кинетика, М., 1977, гл. 3, 4; [2] Хуанг К., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1966, гл. 4. Д. Н. Зубарев.

статистически равновесная функция распределения $f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r})$ по импульсам $\boldsymbol{p}$ и координатам $\boldsymbol{r}$ частиц (атомов, молекул) идеального газа, которые подчиняются классической механике и находятся во внешнем потенциальном поле: \[ f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r})=A \exp \left\{-\left(\boldsymbol{p}^{2} / 2 m+U(\boldsymbol{r})\right) / k T\right\}, \] где $p^{2} / 2 m-$ кинетическая энергия частицы с массой $m$, $U(\boldsymbol{r})$ - ее потенциальная энергия во внешнем поле, $T-$ абсолютная температура газа. Постоянная $A$ определяется из условия, что суммарное число частиц по всем возможным состояниям равно полному числу частиц $N$ в системе (условие нормировки). М.-Б. р. есть следствие статистики Больцмана идеального газа, находящегося во внешнем потенциальном поле [Л. Больцман (L. Boltzmann), 1868-71]. Частным случаем М.-Б. р. при $U(\boldsymbol{r})=0$ в формуле (1) является распределение Максвелла по скоростям [Дж. Максвелл (J. Maxwell), 1859]: \[ f(v)=n(m / 2 \pi k T)^{3 / 2} \exp \left\{-m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right) / 2 k T\right\}, \] где $n-$ число частиц в единице объема. Распределением Максвелла называется распределение $F(v)$ частиц по абсолютным значениям скоростей $v$: \[ d n=F(v) d v=4 \pi n(m / 2 \pi k T)^{3 / 2} \exp \left(-m v^{2} / 2 k T\right) v^{2} d v . \] Оно достигает максимума при скорости $v_{m}=\sqrt{2 k T / m}$, называемой наиболее вероятной скоростью. Для молекулярного водорода при $T=273 \mathrm{~K} v_{m}=1506 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. При помощи (3) можно вычислить среднее значение любой функции от скорости, напр. среднюю скорость $\bar{v}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} v_{m}$, среднюю квадратичную скорость $\bar{v}^{2}=3 k T / m$. М.-Б. р. можно получить из Гиббса распределения для газа, подчиняющегося классич. статистич. механике, в к-ром взаимодействием частиц можно пренебречь. М.-Б. р. не зависит от взаимодействия между частицами и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно классич. описание. Оно справедливо также для броуновских частиц, взвешенных в жидкости. М.-Б. р. есть решение Больцмана кинетического уравнения для частного случая статистич. равновесия. М.-Б. р., проинтегрированное по всем скоростям частиц, называется функцией распределения Больцмана: \[ n(\boldsymbol{r})=n_{0} \exp (-U(\boldsymbol{r}) / k T), \] где $n_{0}$ - плотность числа частиц системы в отсутствие внешнего поля. Отношение плотностей числа частиц в различных точках пространства зависит от разности потенциальной энергии для этих точек: \[ n_{1} / n_{2}=\exp (-\Delta U(\boldsymbol{r}) / k T), \] где $\Delta U(\boldsymbol{r})=U\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)-U\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)$. В частности, из (4) следует барометрич. формула, определяющая отношение плотностей молекул газа для двух точек в поле тяготения над земной поверхностью. В этом случае $\Delta U=m g h$, где $g$ - ускорение свободного падения, $h$ - высота над земной поверхностью. М.-Б. р. справедливо, когда среднее расстояние между частицами значительно больше длины волны де Бройля, соответствующей тепловой скорости. Лит.: [1] Руммер Ю. Б., Рывкин М. Н., Термодинамика, статистическая физика и кинетика, М., 1977, гл. 3, 4; [2] Хуанг К., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1966, гл. 4. Д. Н. Зубарев.