МАКСИМУМА МОДУЛЯ ПРИНЦИП

теорема, выражающая одно из основных свойств модуля аналитической функции. Пусть $f(z)$ - регулярная аналитическая, или голоморфная, функция $n$ комплексных переменных $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right), n \geqslant 1$, в области $D$ комплексного числового пространства $\mathbb{C}^{n}$, отличная от константы, $f(z) \neq$ const. М.м. п. в локальной форме утверждает, что ни в какой точке $z^{0} \in D$ не может достигаться локальный максимум модуля $f(z)$, то есть не существует окрестности $V\left(z^{0}\right)$ точки $z^{0}$, в к-рой выполняется неравенство \[ |f(z)| \leqslant\left|f\left(z^{0}\right)\right|, z \in V\left(z^{0}\right) . \] Если, кроме того, $f\left(z^{0}\right) \neq 0$, то $z^{0}$ не может быть и точкой локального минимума модуля $f(z)$. Равносильная формулировка М. м. П. в глобальной форме состоит в том, что при тех же условиях модуль аналитич. функции $f(z)$ не может достигать своей верхней грани \[ M=\sup \{|f(z)|: z \in D\} \] ни в какой точке $z^{0} \in D$. Следовательно, если $f(z)$ непрерывна в конечной замкнутой области $D$, то наибольшее значение $M$ достигается только в граничных точках области D. Приведенные формулировки М. М. П. сохраняют силу и в том случае, если $f(z)$ - голоморфная функция на связном комплексном (аналитическом) многообразии, в частности на римановой поверхности или на римановой области $D$. М. м. п. допускает обобщения в различных направлениях. Во-первых, вместо голоморфности $f(z)$ достаточно предположить только, что $f(z)=u(z)+i v(z)-($ комплексная) гармоническая функция. Другое обобщение связано с тем, что для голоморфной функции $f(z)$ модуль $|f(z)|$ есть логарифмически субгармоническая функция. Если $f(z)$ - ограниченная голоморфная функция в конечной области $D \subset \mathbb{C}^{n}$ и условие \[ \lim \sup \{|f(z)|: z \rightarrow \zeta, z \in D\} \leqslant M \] выполняется для всех точек $\zeta \in \partial D$, кроме точек нек-рого множества $E \subset \partial D$ внешней емкости нуль (в пространстве $\mathbb{R}^{2 n}=\mathbb{C}^{n}$), то $|f(z)| \leqslant M$ всюду в $D$. См. также Фрагмена Линделефа теорема. Лит.: [1] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976. Е. Д. Соломенцев.

теорема, выражающая одно из основных свойств модуля аналитической функции. Пусть $f(z)$ - регулярная аналитическая, или голоморфная, функция $n$ комплексных переменных $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right), n \geqslant 1$, в области $D$ комплексного числового пространства $\mathbb{C}^{n}$, отличная от константы, $f(z) \neq$ const. М.м. п. в локальной форме утверждает, что ни в какой точке $z^{0} \in D$ не может достигаться локальный максимум модуля $f(z)$, то есть не существует окрестности $V\left(z^{0}\right)$ точки $z^{0}$, в к-рой выполняется неравенство \[ |f(z)| \leqslant\left|f\left(z^{0}\right)\right|, z \in V\left(z^{0}\right) . \] Если, кроме того, $f\left(z^{0}\right) \neq 0$, то $z^{0}$ не может быть и точкой локального минимума модуля $f(z)$. Равносильная формулировка М. м. П. в глобальной форме состоит в том, что при тех же условиях модуль аналитич. функции $f(z)$ не может достигать своей верхней грани \[ M=\sup \{|f(z)|: z \in D\} \] ни в какой точке $z^{0} \in D$. Следовательно, если $f(z)$ непрерывна в конечной замкнутой области $D$, то наибольшее значение $M$ достигается только в граничных точках области D. Приведенные формулировки М. М. П. сохраняют силу и в том случае, если $f(z)$ - голоморфная функция на связном комплексном (аналитическом) многообразии, в частности на римановой поверхности или на римановой области $D$. М. м. п. допускает обобщения в различных направлениях. Во-первых, вместо голоморфности $f(z)$ достаточно предположить только, что $f(z)=u(z)+i v(z)-($ комплексная) гармоническая функция. Другое обобщение связано с тем, что для голоморфной функции $f(z)$ модуль $|f(z)|$ есть логарифмически субгармоническая функция. Если $f(z)$ - ограниченная голоморфная функция в конечной области $D \subset \mathbb{C}^{n}$ и условие \[ \lim \sup \{|f(z)|: z \rightarrow \zeta, z \in D\} \leqslant M \] выполняется для всех точек $\zeta \in \partial D$, кроме точек нек-рого множества $E \subset \partial D$ внешней емкости нуль (в пространстве $\mathbb{R}^{2 n}=\mathbb{C}^{n}$), то $|f(z)| \leqslant M$ всюду в $D$. См. также Фрагмена Линделефа теорема. Лит.: [1] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976. Е. Д. Соломенцев.