МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ (В УЗКОМ СМЫСЛЕ)

То же, что линейные колебания, то есть движения, описываемые системой \[ \ddot{x}=-A x, \] где $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{E}^{n}, A$ - положительно определенная симметричная матрица порядка $n$. В широком смысле М.к.- движения в возмущенной системе \[ \ddot{x}=-A x+R_{2}(x, \dot{x}), \] где возмущение $R_{2}$ мало в том или ином смысле. Значение системы $\ddot{x}=-A x$ определяется, в частности, тем, что она является линеаризацией консервативной системы с $n$ степенями свободы вблизи положения равновесия, отвечающего «дну ямы" - точке невырожденного минимума потенциальной энергии. Уравнению $\ddot{x}=-A x$ можно придать вид консервативного уравнения Ньютона $\ddot{x}=-\partial U / \partial x$, взяв $U=(A x, x) / 2$, и лагранжева уравнения с функцией Лагранжа $L=T-U$, взяв $T=(\dot{x}, \dot{x}) / 2$. Основой теории линейных колебаний является представимость $n$-мерных колебаний в виде прямого произведения $n$ одномерных. Точнее, любая система $\ddot{x}=-A x$ линейной ортогональной заменой переменных $x=S y$ приводится к виду $\ddot{y}_{i}=-\lambda y_{i}, i=1, \ldots, n$, где $\lambda_{i}>0-$ собственные значения матрицы $A$, а $S$ - матрица перехода к собственному базису оператора, задаваемого $A, S S^{\top}=E$, где $E-$ единичная матрица, а $S^{\top}-$ транспонированная $S$. Иначе говоря, $S-$ матрица перехода к главным осям квадратичной формы $U=(A x, x) / 2$. (С математич. точки зрения для такой расщепляемости достаточно существования собственного базиса у матрицы $A$, но тогда $\lambda_{i}$ не обязательно положительны, a $S$ ортогональна.) Колебания, для к-рых все переменные $y_{j}(t) \equiv 0$ кроме одной при $j=i$ называются собственными (а также нормальными, главными). Эти колебания $\varphi_{i}(t)$, $i=1, \quad \ldots, n$, являются периодическими с периодами $T_{i}=2 \pi \sqrt{\lambda_{i}}$, не зависящими от амплитуд. В исходных координатах $x$ они имеют вид: \[ \varphi_{i}(t)=D_{i} \xi^{i} \sin \left(\sqrt{\lambda_{i}} t+c_{i}\right), \] где $\xi^{i}$ - собственный вектор матрицы $A$, а $D_{i}$ и $c_{i}-$ константы. Любое колебание $x=\varphi(t)$ является линейной комбинацией собственных: \[ \varphi(t)=\sum \varphi_{i}\left(t, D_{i}, c_{i}\right) \] (принцип суперпозиции). Движение $x=\varphi(t), p=\dot{\varphi}(t)$ в фазовом пространстве $\mathbb{E}_{x, p}^{2 n}$ потока эквивалентной системы $\dot{x}=p, \dot{p}=-A x$ будет условно периодическим по $r$-мерному тору с частотами $\omega_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}$; здесь и далее $r-$ ранг колебаний, то есть число ненулевых амплитуд $D_{i}(r=0,1, \ldots, n$, а для собственных колебаний $r=1$ ). Этот факт становится очевидным после перехода к нормализующим координатам $y$. Тор имеет вид прямого произведения $\boldsymbol{r}$ эллипсов, лежащих на 2-мерных попарно ортогональных плоскостях $\mathbb{E}_{y_{i}}^{2}, \dot{y}_{i}$ Эти эллипсы - уровни энергий \[ E_{i}=\left(\dot{y}_{i}^{2}+\omega_{i}^{2} y_{i}^{2}\right) / 2=\omega_{i}^{2}\left|\xi^{i}\right|^{2} D_{i}^{2} / 2 \] составляющих собственных колебаний. Траектории точек $x=\varphi(t)$ в конфигурационном пространстве $\mathbb{E}_{x}^{n}$ называются фигурами Лиссажу. Они являются проекциями на $\mathbb{E}_{x}^{n}$ обмоток $r$-мерных торов из $\mathbb{E}_{x, p}^{2 n}$. Траектория собственного колебания является проекцией эллипса и имеет вид отрезка. При несоизмеримых частотах $\omega_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}$ на торе (то есть если $(k, \omega)=\sum k_{i} \omega_{i}=0$ для всех $\left.k \in \mathbb{Z}^{r} \backslash\{0\}\right)$ траектория $x=\varphi(t)$ заметает множество, замыкание к-рого есть $r$-мерный параллелепипед. Его стороны параллельны натянутым на векторы $\xi^{i}$ главным осям квадратичной формы $U=(A x, x) / 2$. Полное его заполнение связано с тем, что в нерезонансном случае каждая обмотка тора всюду плотна на нем. Прямое обобщение уравнения $\ddot{x}=-A x$ линейных колебаний - гамильтоново линейное уравнение, задаваемое диагонализуемым оператором, спектр к-рого лежит на мнимой оси (так наз. эллиптич. случай, см. [6], [1]). (О нелинейных малых собственных колебаниях см., напр., [5].) Для исследования нелинейных М.к. с произвольными начальными условиями используют приведение их в окрестности особой точки при негамильтоновом возмущении к нормальным формам Пуанкаре - Дюлака, а при гамильтоновом - к нормальным формам Биркгофа (см. [3], [1], [6], [4]). При этом приведение, как правило, формальное, то есть на уровне, вообще говоря, расходящихся рядов. Однако и это позволяет получать определенную информацию об устойчивости колебаний. Чрезвычайно полезным оказался подход ко многим линейным задачам математич. физики, как к линейным колебаниям с бесконечным числом степеней свободы. Простейший пример - смешанная задача Коши для волнового уравнения. Линейные колебания лежат в основе и квантовой теории поля.

То же, что линейные колебания, то есть движения, описываемые системой \[ \ddot{x}=-A x, \] где $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{E}^{n}, A$ - положительно определенная симметричная матрица порядка $n$. В широком смысле М.к.- движения в возмущенной системе \[ \ddot{x}=-A x+R_{2}(x, \dot{x}), \] где возмущение $R_{2}$ мало в том или ином смысле. Значение системы $\ddot{x}=-A x$ определяется, в частности, тем, что она является линеаризацией консервативной системы с $n$ степенями свободы вблизи положения равновесия, отвечающего «дну ямы" - точке невырожденного минимума потенциальной энергии. Уравнению $\ddot{x}=-A x$ можно придать вид консервативного уравнения Ньютона $\ddot{x}=-\partial U / \partial x$, взяв $U=(A x, x) / 2$, и лагранжева уравнения с функцией Лагранжа $L=T-U$, взяв $T=(\dot{x}, \dot{x}) / 2$. Основой теории линейных колебаний является представимость $n$-мерных колебаний в виде прямого произведения $n$ одномерных. Точнее, любая система $\ddot{x}=-A x$ линейной ортогональной заменой переменных $x=S y$ приводится к виду $\ddot{y}_{i}=-\lambda y_{i}, i=1, \ldots, n$, где $\lambda_{i}>0-$ собственные значения матрицы $A$, а $S$ - матрица перехода к собственному базису оператора, задаваемого $A, S S^{\top}=E$, где $E-$ единичная матрица, а $S^{\top}-$ транспонированная $S$. Иначе говоря, $S-$ матрица перехода к главным осям квадратичной формы $U=(A x, x) / 2$. (С математич. точки зрения для такой расщепляемости достаточно существования собственного базиса у матрицы $A$, но тогда $\lambda_{i}$ не обязательно положительны, a $S$ ортогональна.) Колебания, для к-рых все переменные $y_{j}(t) \equiv 0$ кроме одной при $j=i$ называются собственными (а также нормальными, главными). Эти колебания $\varphi_{i}(t)$, $i=1, \quad \ldots, n$, являются периодическими с периодами $T_{i}=2 \pi \sqrt{\lambda_{i}}$, не зависящими от амплитуд. В исходных координатах $x$ они имеют вид: \[ \varphi_{i}(t)=D_{i} \xi^{i} \sin \left(\sqrt{\lambda_{i}} t+c_{i}\right), \] где $\xi^{i}$ - собственный вектор матрицы $A$, а $D_{i}$ и $c_{i}-$ константы. Любое колебание $x=\varphi(t)$ является линейной комбинацией собственных: \[ \varphi(t)=\sum \varphi_{i}\left(t, D_{i}, c_{i}\right) \] (принцип суперпозиции). Движение $x=\varphi(t), p=\dot{\varphi}(t)$ в фазовом пространстве $\mathbb{E}_{x, p}^{2 n}$ потока эквивалентной системы $\dot{x}=p, \dot{p}=-A x$ будет условно периодическим по $r$-мерному тору с частотами $\omega_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}$; здесь и далее $r-$ ранг колебаний, то есть число ненулевых амплитуд $D_{i}(r=0,1, \ldots, n$, а для собственных колебаний $r=1$ ). Этот факт становится очевидным после перехода к нормализующим координатам $y$. Тор имеет вид прямого произведения $\boldsymbol{r}$ эллипсов, лежащих на 2-мерных попарно ортогональных плоскостях $\mathbb{E}_{y_{i}}^{2}, \dot{y}_{i}$ Эти эллипсы - уровни энергий \[ E_{i}=\left(\dot{y}_{i}^{2}+\omega_{i}^{2} y_{i}^{2}\right) / 2=\omega_{i}^{2}\left|\xi^{i}\right|^{2} D_{i}^{2} / 2 \] составляющих собственных колебаний. Траектории точек $x=\varphi(t)$ в конфигурационном пространстве $\mathbb{E}_{x}^{n}$ называются фигурами Лиссажу. Они являются проекциями на $\mathbb{E}_{x}^{n}$ обмоток $r$-мерных торов из $\mathbb{E}_{x, p}^{2 n}$. Траектория собственного колебания является проекцией эллипса и имеет вид отрезка. При несоизмеримых частотах $\omega_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}$ на торе (то есть если $(k, \omega)=\sum k_{i} \omega_{i}=0$ для всех $\left.k \in \mathbb{Z}^{r} \backslash\{0\}\right)$ траектория $x=\varphi(t)$ заметает множество, замыкание к-рого есть $r$-мерный параллелепипед. Его стороны параллельны натянутым на векторы $\xi^{i}$ главным осям квадратичной формы $U=(A x, x) / 2$. Полное его заполнение связано с тем, что в нерезонансном случае каждая обмотка тора всюду плотна на нем. Прямое обобщение уравнения $\ddot{x}=-A x$ линейных колебаний - гамильтоново линейное уравнение, задаваемое диагонализуемым оператором, спектр к-рого лежит на мнимой оси (так наз. эллиптич. случай, см. [6], [1]). (О нелинейных малых собственных колебаниях см., напр., [5].) Для исследования нелинейных М.к. с произвольными начальными условиями используют приведение их в окрестности особой точки при негамильтоновом возмущении к нормальным формам Пуанкаре - Дюлака, а при гамильтоновом - к нормальным формам Биркгофа (см. [3], [1], [6], [4]). При этом приведение, как правило, формальное, то есть на уровне, вообще говоря, расходящихся рядов. Однако и это позволяет получать определенную информацию об устойчивости колебаний. Чрезвычайно полезным оказался подход ко многим линейным задачам математич. физики, как к линейным колебаниям с бесконечным числом степеней свободы. Простейший пример - смешанная задача Коши для волнового уравнения. Линейные колебания лежат в основе и квантовой теории поля.