МАНДЕЛСТАМА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ, ДВОЙНОЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

простейшее интегральное представление для амплитуды рассеяния элементарных частиц (см. Дисперсионных соотношений метод) как функции инвариантных квадрата полной энергии $s$ в системе центра масс и квадрата передачи 4-импульса $t$. В простейшем случае бинарного процесса $\mathrm{a}+\mathrm{b} \rightarrow \mathrm{c}+\mathrm{d}$ (рис. 1) упругого рассеяния частиц с равными массами $m$ (напр., двух пионов) М. п. имеет вид: \[ \begin{gathered} A(s, t)=\frac{1}{\pi^{2}} \iint d s^{\prime} d t^{\prime} \frac{\rho_{s t}\left(s^{\prime}, t^{\prime}\right)}{\left(s^{\prime}-s\right)\left(t^{\prime}-t\right)}+ \\ +\frac{1}{\pi^{2}} \iint d u^{\prime} d t^{\prime} \frac{\rho_{u t}\left(u^{\prime}, t^{\prime}\right)}{\left(u^{\prime}-u\right)\left(t^{\prime}-t\right)}+\frac{1}{\pi^{2}} \iint d u^{\prime} d s^{\prime} \frac{\rho_{s u}\left(s^{\prime}, u^{\prime}\right)}{\left(u^{\prime}-u\right)\left(s^{\prime}-s\right)}, \end{gathered} \] где релятивистски-инвариантные переменные \[ s=\left(p_{\mathrm{a}}+p_{\mathrm{b}}\right)^{2}, t=\left(p_{\mathrm{a}}-p_{\mathrm{c}}\right)^{2}, u=\left(p_{\mathrm{a}}-p_{\mathrm{d}}\right)^{2} \] связаны друг с другом соотношением \[ s+u+t=4 m^{2} \] ( $p_{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}}-4$-импульсы частиц $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$; используется система единиц, в к-рой $c=1$ ), а спектральные плотности $\rho$ отличны от нуля только в областях I, II, III (рис. 2), так что амплитуда $A$ аналитична при всех комплексных $s$ и $t$ за исключением этих вещественных областей. М. п. задает и аналитич. свойства амплитуды как функции одной комплексной переменной ( $s$ или $t$ ) - это разрезы, определяемые асимптотами границы спектральных функций; $s>4 m^{2}$, $t>4 m^{2}, u>4 m^{2}$. Важным свойством М. п. является его явная перекрестная симметрия: оно определяет единую аналитич. функцию, к-рая в разных областях переменных $s, u$ описывает различные перекрестные процессы  (рис. 2) Представление предложено С. Мандельстамом (S. Mandelstam) в 1959 и строго доказано в квантовой механике с потенциалом взаимодействия определенного класса. Характерной особенностью М. п. в этом случае является нулевое значение спектральной плотности $\rho_{s u}$. Однако в квантовой теории поля его удалось доказать лишь в рамках перенормированной теории возмущений.  Рис. 2. Области аналитичности амплитуды процесса $\mathrm{a}+\mathrm{b} \rightarrow \mathrm{c}+\mathrm{d}$ (в случае одинаковых масс частиц). I, II, III - области, где отличны от нуля спектральные плотности р. Заштрихованы области перекрестных процессов. М. п., наряду с унитарности условием, составляет основу дисперсионного подхода в теории элементарных частиц. Связывая амплитуды различных процессов, оно приводит к системе нелинейных интегральных уравнений. Однако возникающая система оказывается настолько широкой, что включает в себя амплитуды практически всех процессов, происходящих с элементарными частицами, и не поддается математич. разрешению. В ряде случаев с помощью различных приближений удается сузить систему и получить интересные физич. результаты. М. п. прочно вошло в арсенал аналитич. методов теории элементарных частиц и лежит в основе многих моделей.

простейшее интегральное представление для амплитуды рассеяния элементарных частиц (см. Дисперсионных соотношений метод) как функции инвариантных квадрата полной энергии $s$ в системе центра масс и квадрата передачи 4-импульса $t$. В простейшем случае бинарного процесса $\mathrm{a}+\mathrm{b} \rightarrow \mathrm{c}+\mathrm{d}$ (рис. 1) упругого рассеяния частиц с равными массами $m$ (напр., двух пионов) М. п. имеет вид: \[ \begin{gathered} A(s, t)=\frac{1}{\pi^{2}} \iint d s^{\prime} d t^{\prime} \frac{\rho_{s t}\left(s^{\prime}, t^{\prime}\right)}{\left(s^{\prime}-s\right)\left(t^{\prime}-t\right)}+ \\ +\frac{1}{\pi^{2}} \iint d u^{\prime} d t^{\prime} \frac{\rho_{u t}\left(u^{\prime}, t^{\prime}\right)}{\left(u^{\prime}-u\right)\left(t^{\prime}-t\right)}+\frac{1}{\pi^{2}} \iint d u^{\prime} d s^{\prime} \frac{\rho_{s u}\left(s^{\prime}, u^{\prime}\right)}{\left(u^{\prime}-u\right)\left(s^{\prime}-s\right)}, \end{gathered} \] где релятивистски-инвариантные переменные \[ s=\left(p_{\mathrm{a}}+p_{\mathrm{b}}\right)^{2}, t=\left(p_{\mathrm{a}}-p_{\mathrm{c}}\right)^{2}, u=\left(p_{\mathrm{a}}-p_{\mathrm{d}}\right)^{2} \] связаны друг с другом соотношением \[ s+u+t=4 m^{2} \] ( $p_{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}}-4$-импульсы частиц $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$; используется система единиц, в к-рой $c=1$ ), а спектральные плотности $\rho$ отличны от нуля только в областях I, II, III (рис. 2), так что амплитуда $A$ аналитична при всех комплексных $s$ и $t$ за исключением этих вещественных областей. М. п. задает и аналитич. свойства амплитуды как функции одной комплексной переменной ( $s$ или $t$ ) - это разрезы, определяемые асимптотами границы спектральных функций; $s>4 m^{2}$, $t>4 m^{2}, u>4 m^{2}$. Важным свойством М. п. является его явная перекрестная симметрия: оно определяет единую аналитич. функцию, к-рая в разных областях переменных $s, u$ описывает различные перекрестные процессы  (рис. 2) Представление предложено С. Мандельстамом (S. Mandelstam) в 1959 и строго доказано в квантовой механике с потенциалом взаимодействия определенного класса. Характерной особенностью М. п. в этом случае является нулевое значение спектральной плотности $\rho_{s u}$. Однако в квантовой теории поля его удалось доказать лишь в рамках перенормированной теории возмущений.  Рис. 2. Области аналитичности амплитуды процесса $\mathrm{a}+\mathrm{b} \rightarrow \mathrm{c}+\mathrm{d}$ (в случае одинаковых масс частиц). I, II, III - области, где отличны от нуля спектральные плотности р. Заштрихованы области перекрестных процессов. М. п., наряду с унитарности условием, составляет основу дисперсионного подхода в теории элементарных частиц. Связывая амплитуды различных процессов, оно приводит к системе нелинейных интегральных уравнений. Однако возникающая система оказывается настолько широкой, что включает в себя амплитуды практически всех процессов, происходящих с элементарными частицами, и не поддается математич. разрешению. В ряде случаев с помощью различных приближений удается сузить систему и получить интересные физич. результаты. М. п. прочно вошло в арсенал аналитич. методов теории элементарных частиц и лежит в основе многих моделей.