МАРКОВСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ДИНАМИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

отображение, описывающее конечное изменение наблюдаемых или состояний системы в результате, вообще говоря, необратимой эволюции в алгебраической формулировке статистической механики, а также в некоммутативной теории вероятностей. Пусть $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{B}-$ нек-рые $C^{*}$-алгебры с единицами. Переходным отображением называется вполне положительное отображение $\Phi$ из $\mathfrak{A}$ в $\mathfrak{B}$, переводящее единицу из алгебры $\mathfrak{U}$ в единицу из алгебры $\mathfrak{B}$. Если $\mathfrak{A}=\mathfrak{B}$, то переходное отображение называется марковским отображением. Для всякого переходного отображения существует сопряженное $\Phi^{*}$, к-рое аффинно и слабо *-непрерывно отображает множество состояний $\mathscr{S}_{\mathfrak{B}}$ в $\mathfrak{S}_{\mathfrak{A}}$. Если $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{B}$ являются $W^{*}$-алгебрами, а отображение нормально в том смысле, что \[ \sup _{\alpha} \Phi\left(X_{\alpha}\right)=\Phi\left(\sup _{\alpha} X_{\alpha}\right) \] для любого ограниченного направленного множества самосопряженных элементов $\left\{X_{\alpha}\right\} \subset \mathfrak{A}$, то $\Phi^{*}$ переводит нормальные состояния в нормальные же. Примеры. 1) Пусть $\mathfrak{A}=\mathfrak{B}-$ коммутативная алгебра ограниченных измеримых функций на измеримом пространстве $\Omega$ и $\mathrm{P}\left(d \omega \mid \omega^{\prime}\right)$ - переходная вероятность в $\Omega$. Соотношение \[ \Phi(X)\left(\omega^{\prime}\right)=\int_{\Omega} \mathrm{P}\left(d \omega \mid \omega^{\prime}\right) X(\omega), \quad X \in \mathfrak{A}, \] определяет М. о. При этом $\Phi^{*}$ порождает аффинное отображение в выпуклом множестве всех вероятностных мер на $\Omega$. 2) Пусть $\mathfrak{A}=\mathfrak{B}=\mathfrak{B}(H)$ - алгебра всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве $H$. Всякое нормальное М. о. имеет вид \[ \Phi(X)=\sum_{i} V_{i}^{*} X V_{i}, \] где $V_{i} \in \mathfrak{A}(H), \quad \sum_{i} V_{i}^{*} V_{i}=I$ - единичный оператор. В теории квантового измерения важную роль играет понятие операции субмарковского отображения - вполне положительного отображения $\Phi$ в $C^{*}$-алгебру $\mathfrak{A}$ такого, что $\Phi(I) \leqslant I$. Лит.: [1] Kadison R., «Topology», 1965, v. 3, suppl. 2, p. 177-98; [2] Størmer E., «Lect. Notes in Phys.», 1974, v. 29, p. 85-106; [3] Морозова Е.А., Ченцов Н.Н., Матрицы вероятностей и стохастические суперматрицы, М., 1973 (ИПМ АН СССР, препринт № 84). А. С. Холево.

отображение, описывающее конечное изменение наблюдаемых или состояний системы в результате, вообще говоря, необратимой эволюции в алгебраической формулировке статистической механики, а также в некоммутативной теории вероятностей. Пусть $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{B}-$ нек-рые $C^{*}$-алгебры с единицами. Переходным отображением называется вполне положительное отображение $\Phi$ из $\mathfrak{A}$ в $\mathfrak{B}$, переводящее единицу из алгебры $\mathfrak{U}$ в единицу из алгебры $\mathfrak{B}$. Если $\mathfrak{A}=\mathfrak{B}$, то переходное отображение называется марковским отображением. Для всякого переходного отображения существует сопряженное $\Phi^{*}$, к-рое аффинно и слабо *-непрерывно отображает множество состояний $\mathscr{S}_{\mathfrak{B}}$ в $\mathfrak{S}_{\mathfrak{A}}$. Если $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{B}$ являются $W^{*}$-алгебрами, а отображение нормально в том смысле, что \[ \sup _{\alpha} \Phi\left(X_{\alpha}\right)=\Phi\left(\sup _{\alpha} X_{\alpha}\right) \] для любого ограниченного направленного множества самосопряженных элементов $\left\{X_{\alpha}\right\} \subset \mathfrak{A}$, то $\Phi^{*}$ переводит нормальные состояния в нормальные же. Примеры. 1) Пусть $\mathfrak{A}=\mathfrak{B}-$ коммутативная алгебра ограниченных измеримых функций на измеримом пространстве $\Omega$ и $\mathrm{P}\left(d \omega \mid \omega^{\prime}\right)$ - переходная вероятность в $\Omega$. Соотношение \[ \Phi(X)\left(\omega^{\prime}\right)=\int_{\Omega} \mathrm{P}\left(d \omega \mid \omega^{\prime}\right) X(\omega), \quad X \in \mathfrak{A}, \] определяет М. о. При этом $\Phi^{*}$ порождает аффинное отображение в выпуклом множестве всех вероятностных мер на $\Omega$. 2) Пусть $\mathfrak{A}=\mathfrak{B}=\mathfrak{B}(H)$ - алгебра всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве $H$. Всякое нормальное М. о. имеет вид \[ \Phi(X)=\sum_{i} V_{i}^{*} X V_{i}, \] где $V_{i} \in \mathfrak{A}(H), \quad \sum_{i} V_{i}^{*} V_{i}=I$ - единичный оператор. В теории квантового измерения важную роль играет понятие операции субмарковского отображения - вполне положительного отображения $\Phi$ в $C^{*}$-алгебру $\mathfrak{A}$ такого, что $\Phi(I) \leqslant I$. Лит.: [1] Kadison R., «Topology», 1965, v. 3, suppl. 2, p. 177-98; [2] Størmer E., «Lect. Notes in Phys.», 1974, v. 29, p. 85-106; [3] Морозова Е.А., Ченцов Н.Н., Матрицы вероятностей и стохастические суперматрицы, М., 1973 (ИПМ АН СССР, препринт № 84). А. С. Холево.