МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР

дважды ковариантный симметричный тензор $g_{i j}(x)$, заданный в области риманова пространства с координатами $x=\left(x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{n}\right)$, причем матрица $g_{i j}$ положительно определена: $g_{i j} T^{i} T^{j}>0$, если вектор $T \neq 0$ (принято соглашение о суммировании по повторяющимся индексам). При замене координат $x^{i} \rightarrow y^{i}(x)$ М. т. $g_{i j}$ переходит в \[ \tilde{g}_{i j}=g_{k l}\left(\partial x^{k} / \partial y^{i}\right)\left(\partial x^{l} / \partial y^{j}\right) . \] М. т. иногда называют римановой метрикой, поскольку он определяет расстояние в римановом пространстве: если задана кривая $x^{i}=x^{i}(t), a \leqslant t \leqslant b$, то ее длина \[ s=\int_{a}^{b} d t\left[g_{i j}(x(t)) \frac{d x^{i}}{d t} \frac{d x^{j}}{d t}\right]^{1 / 2} \] а элемент длины $d s$ определен формулой \[ d s=g_{i j} d x^{i} d x^{j} \] правая часть к-рой называется первой (основной) квадратичной формой. Элемент объема \[ d V=\sqrt{g} d x^{1} \ldots d x^{n} \] а объем $V(U)$ области $U$ равен \[ V(U)=\int_{U} \sqrt{g} d x^{1} \ldots d x^{n}, \] где $g=\operatorname{det}\left\|g_{i j}\right\|$. Если существуют координаты $z^{i}$, в к-рых М. т. имеет вид $g_{i j}(z)=\delta_{i j}$, где $\delta_{i j}-$ символ Кронекера, то метрика называется евклидовой, а сама область риманова пространства является областью евклидова пространства. Кроме М.т. в римановом пространстве вводится еще одна независимая структура - связность, задающая ковариантную производную $\nabla_{k}$. М. т. называется согласованным со связностью, если он ковариантно постоянен: \[ \nabla_{k} g_{i j}=0 . \] Тогда коэффициенты связности, или Кристоффеля символы, однозначно выражаются через М. т.: \[ \Gamma_{i j}^{k}=\frac{1}{2} g^{k l}\left(\frac{\partial g_{l j}}{\partial x^{j}}+\frac{\partial g_{l i}}{\partial x^{j}}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial x^{l}}\right) \text {. } \] В окрестности любой точки $x_{0}$ можно ввести нормальные (римановы) координаты такие, что $\left.\Gamma_{i j}^{k}\right|_{x=x_{0}}=0$ или $\partial g_{i j} /\left.\partial x^{k}\right|_{x=x_{0}}=0$. Тогда в этой окрестности \[ g_{i j}=\delta_{i j}-(1 / 3) R_{i j, k l} x^{k} x^{l}+\ldots . \] Коэффициенты $R_{i j, k l}$ характеризуют отличие М.т. от евклидова и являются компонентами тензора кривизны. Помимо внутренних характеристик многообразия М.т. задает скалярное произведение векторов $\xi=\left(\xi^{1}, \ldots, \xi^{n}\right)$ и $\eta=\left(\eta^{1}\right.$, ..., $\left.\eta^{n}\right)$, касательных к многообразию в данной точке: \[ (\xi, \eta)=g_{i j} \xi^{i} \eta^{j} \] скалярное произведение не зависит от выбора системы координат. Понятие М. т. общеупотребительно при описании сплошной среды, при формулировке теории поля в криволинейных координатах, а особенно - в теории относительности и теории тяготения.

дважды ковариантный симметричный тензор $g_{i j}(x)$, заданный в области риманова пространства с координатами $x=\left(x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{n}\right)$, причем матрица $g_{i j}$ положительно определена: $g_{i j} T^{i} T^{j}>0$, если вектор $T \neq 0$ (принято соглашение о суммировании по повторяющимся индексам). При замене координат $x^{i} \rightarrow y^{i}(x)$ М. т. $g_{i j}$ переходит в \[ \tilde{g}_{i j}=g_{k l}\left(\partial x^{k} / \partial y^{i}\right)\left(\partial x^{l} / \partial y^{j}\right) . \] М. т. иногда называют римановой метрикой, поскольку он определяет расстояние в римановом пространстве: если задана кривая $x^{i}=x^{i}(t), a \leqslant t \leqslant b$, то ее длина \[ s=\int_{a}^{b} d t\left[g_{i j}(x(t)) \frac{d x^{i}}{d t} \frac{d x^{j}}{d t}\right]^{1 / 2} \] а элемент длины $d s$ определен формулой \[ d s=g_{i j} d x^{i} d x^{j} \] правая часть к-рой называется первой (основной) квадратичной формой. Элемент объема \[ d V=\sqrt{g} d x^{1} \ldots d x^{n} \] а объем $V(U)$ области $U$ равен \[ V(U)=\int_{U} \sqrt{g} d x^{1} \ldots d x^{n}, \] где $g=\operatorname{det}\left\|g_{i j}\right\|$. Если существуют координаты $z^{i}$, в к-рых М. т. имеет вид $g_{i j}(z)=\delta_{i j}$, где $\delta_{i j}-$ символ Кронекера, то метрика называется евклидовой, а сама область риманова пространства является областью евклидова пространства. Кроме М.т. в римановом пространстве вводится еще одна независимая структура - связность, задающая ковариантную производную $\nabla_{k}$. М. т. называется согласованным со связностью, если он ковариантно постоянен: \[ \nabla_{k} g_{i j}=0 . \] Тогда коэффициенты связности, или Кристоффеля символы, однозначно выражаются через М. т.: \[ \Gamma_{i j}^{k}=\frac{1}{2} g^{k l}\left(\frac{\partial g_{l j}}{\partial x^{j}}+\frac{\partial g_{l i}}{\partial x^{j}}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial x^{l}}\right) \text {. } \] В окрестности любой точки $x_{0}$ можно ввести нормальные (римановы) координаты такие, что $\left.\Gamma_{i j}^{k}\right|_{x=x_{0}}=0$ или $\partial g_{i j} /\left.\partial x^{k}\right|_{x=x_{0}}=0$. Тогда в этой окрестности \[ g_{i j}=\delta_{i j}-(1 / 3) R_{i j, k l} x^{k} x^{l}+\ldots . \] Коэффициенты $R_{i j, k l}$ характеризуют отличие М.т. от евклидова и являются компонентами тензора кривизны. Помимо внутренних характеристик многообразия М.т. задает скалярное произведение векторов $\xi=\left(\xi^{1}, \ldots, \xi^{n}\right)$ и $\eta=\left(\eta^{1}\right.$, ..., $\left.\eta^{n}\right)$, касательных к многообразию в данной точке: \[ (\xi, \eta)=g_{i j} \xi^{i} \eta^{j} \] скалярное произведение не зависит от выбора системы координат. Понятие М. т. общеупотребительно при описании сплошной среды, при формулировке теории поля в криволинейных координатах, а особенно - в теории относительности и теории тяготения.