МИНИМАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ $\left\{S_{t}\right\}$

непустое замкнутое инвариантное (то есть целиком состоящее из траекторий) подмножество $F$ фазового пространства $W$ системы, которое не имеет собственных замкнутых инвариантных подмножеств. Последнее эквивалентно тому, что каждая из лежащих в $F$ траекторий всюду плотна в $F$. Понятие М. м. ввел Дж. Биркгоф (G. Birkhoff, см. [1]) применительно к случаю потока («время» $t$ пробегает действительные числа). Он доказал (см. [1], [2]), что если $F-$ компактное М. м. и $w \in F$, то для любой окрестности $U$ точки $w$ множество тех $t$, для к-рых $S_{t} w \in U$, относительно плотно (то есть имеется такое $l$, что в каждом «отрезке времени» $[s, s+l]$ длины $l$ содержится хоть одно $t$ с $\left.S_{t} w \in U\right)$; обратно, если $W$ - полное метрич. пространство и точка $w$ обладает указанным выше свойством, то замыкание траектории $\left\{S_{t} w\right\}-$ компактное М. м. (то же самое справедливо и для каскадов; о более общих группах преобразований см., напр., [3] или [4]). Сформулированное свойство точки $w$ (и ее траектории) Дж. Биркгоф назвал рекуррентностью этой точки (и траектории), употребителен также предложенный У. Готшалком и Г. Хедлундом [3] другой вариант терминологии, в к-ром это свойство называется почти периодичностью точки $w$. Если $F=W$, то саму динамич. систему называют минимальной. Если нек-рая траектория имеет компактное замыкание, то в нем содержится нек-рое М. м. F (для полугрупп непрерывных преобразований $\left\{S_{t}\right\}$ с неотрицательными действительными или целыми $t$ справедлив аналог этого результата, причем на $F$ преобразования $S_{t}$ уже обратимы [5]). Однако исследование предельного поведения траекторий динамич. системы не сводится к изучению одних только М. м. последней. Очень просто устроено М. м. гладкого потока класса $C^{2}$ на двумерной замкнутой поверхности - это либо точка, либо замкнутая траектория, либо вся поверхность, к-рая в этом случае является тором (теорема Шварца, см. [6]). В общем случае строение М. м. может быть весьма сложным (в связи с этим, дополнительно к сказанному в [2]-[4], надо указать, что минимальность динамич. системы не накладывает никаких ограничений на ее эргодич. свойства по отношению к имеющимся у нее инвариантным мерам [7]). М. м. - основной объект изучения в топологич. динамике.

непустое замкнутое инвариантное (то есть целиком состоящее из траекторий) подмножество $F$ фазового пространства $W$ системы, которое не имеет собственных замкнутых инвариантных подмножеств. Последнее эквивалентно тому, что каждая из лежащих в $F$ траекторий всюду плотна в $F$. Понятие М. м. ввел Дж. Биркгоф (G. Birkhoff, см. [1]) применительно к случаю потока («время» $t$ пробегает действительные числа). Он доказал (см. [1], [2]), что если $F-$ компактное М. м. и $w \in F$, то для любой окрестности $U$ точки $w$ множество тех $t$, для к-рых $S_{t} w \in U$, относительно плотно (то есть имеется такое $l$, что в каждом «отрезке времени» $[s, s+l]$ длины $l$ содержится хоть одно $t$ с $\left.S_{t} w \in U\right)$; обратно, если $W$ - полное метрич. пространство и точка $w$ обладает указанным выше свойством, то замыкание траектории $\left\{S_{t} w\right\}-$ компактное М. м. (то же самое справедливо и для каскадов; о более общих группах преобразований см., напр., [3] или [4]). Сформулированное свойство точки $w$ (и ее траектории) Дж. Биркгоф назвал рекуррентностью этой точки (и траектории), употребителен также предложенный У. Готшалком и Г. Хедлундом [3] другой вариант терминологии, в к-ром это свойство называется почти периодичностью точки $w$. Если $F=W$, то саму динамич. систему называют минимальной. Если нек-рая траектория имеет компактное замыкание, то в нем содержится нек-рое М. м. F (для полугрупп непрерывных преобразований $\left\{S_{t}\right\}$ с неотрицательными действительными или целыми $t$ справедлив аналог этого результата, причем на $F$ преобразования $S_{t}$ уже обратимы [5]). Однако исследование предельного поведения траекторий динамич. системы не сводится к изучению одних только М. м. последней. Очень просто устроено М. м. гладкого потока класса $C^{2}$ на двумерной замкнутой поверхности - это либо точка, либо замкнутая траектория, либо вся поверхность, к-рая в этом случае является тором (теорема Шварца, см. [6]). В общем случае строение М. м. может быть весьма сложным (в связи с этим, дополнительно к сказанному в [2]-[4], надо указать, что минимальность динамич. системы не накладывает никаких ограничений на ее эргодич. свойства по отношению к имеющимся у нее инвариантным мерам [7]). М. м. - основной объект изучения в топологич. динамике.