МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ

одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби. Пусть $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ - последовательность различных комплексных чисел \[ \left|a_{1}\right| \leqslant\left|a_{2}\right| \leqslant \ldots, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty, \] и $\left\{g_{n}(z)\right\}$ - последовательность рациональных функций вида: \[ g_{u}(z)=\sum_{k=1}^{l_{n}} \frac{c_{n k}}{\left(z-a_{n}\right)^{k}}, \] так что точка $a_{n}$ является единственным полюсом соответствующей функции $g_{n}(z)$. Тогда существуют мероморфные функции $f(z)$ в плоскости $\mathbb{C}$ комплексного переменного $z$, имеющие полюсы в точках $a_{n}$ и только в них с заданными главными частями (1) Лорана рядов, соответствующих точкам $a_{n}$. Все эти функции $f(z)$ представимы в виде разложения Миттаг-Леффлера: \[ f(z)=h(z)+\sum_{n=1}^{\infty}\left|g_{n}(z)+p_{n}(z)\right|, \] где $p_{n}(z)$ - нек-рые многочлены, подбираемые по $a_{n}$ и $g_{n}(z)$ так, чтобы ряд (2) равномерно (после выбрасывания конечного числа членов) сходился на любом компакте $K \subset \mathbb{C}, h(z)$ - произвольная целая функция. Из М.-Л. т. вытекает, что любая наперед заданная мероморфная функция $f(z)$ в $\mathbb{C}$ с полюсами $a_{n}$ и соответствующими главными частями $g_{n}(z)$ разложений $f(z)$ в ряды Лорана в окрестности $a_{n}$ разлагается в ряд (2), где целая функция $h(z)$ определяется по $f(z)$. Г. Миттаг-Леффлер (G. Mittag-Leffler, 1905) указал общую конструкцию многочленов $p_{n}(z)$, отыскание же целой функции $h(z)$ по данной $f(z)$ иногда представляет собой более трудную задачу. Для получения разложения (2) можно применить методы теории вычетов.

одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби. Пусть $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ - последовательность различных комплексных чисел \[ \left|a_{1}\right| \leqslant\left|a_{2}\right| \leqslant \ldots, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty, \] и $\left\{g_{n}(z)\right\}$ - последовательность рациональных функций вида: \[ g_{u}(z)=\sum_{k=1}^{l_{n}} \frac{c_{n k}}{\left(z-a_{n}\right)^{k}}, \] так что точка $a_{n}$ является единственным полюсом соответствующей функции $g_{n}(z)$. Тогда существуют мероморфные функции $f(z)$ в плоскости $\mathbb{C}$ комплексного переменного $z$, имеющие полюсы в точках $a_{n}$ и только в них с заданными главными частями (1) Лорана рядов, соответствующих точкам $a_{n}$. Все эти функции $f(z)$ представимы в виде разложения Миттаг-Леффлера: \[ f(z)=h(z)+\sum_{n=1}^{\infty}\left|g_{n}(z)+p_{n}(z)\right|, \] где $p_{n}(z)$ - нек-рые многочлены, подбираемые по $a_{n}$ и $g_{n}(z)$ так, чтобы ряд (2) равномерно (после выбрасывания конечного числа членов) сходился на любом компакте $K \subset \mathbb{C}, h(z)$ - произвольная целая функция. Из М.-Л. т. вытекает, что любая наперед заданная мероморфная функция $f(z)$ в $\mathbb{C}$ с полюсами $a_{n}$ и соответствующими главными частями $g_{n}(z)$ разложений $f(z)$ в ряды Лорана в окрестности $a_{n}$ разлагается в ряд (2), где целая функция $h(z)$ определяется по $f(z)$. Г. Миттаг-Леффлер (G. Mittag-Leffler, 1905) указал общую конструкцию многочленов $p_{n}(z)$, отыскание же целой функции $h(z)$ по данной $f(z)$ иногда представляет собой более трудную задачу. Для получения разложения (2) можно применить методы теории вычетов.