МИУРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

преобразование \[ u(x, t)=v_{x}^{\prime}(x, t)+v^{2}(x, t), \] которое любое решение уравнения Миуры-Кортевега-де Фриса \[ v_{t}-6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}=0 \] переводит в решение Кортевега - де Фриса уравнения \[ u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0 \] Обратное, вообще говоря, неверно, но справедливо тождество \[ u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=\left(\frac{\partial}{\partial x}+2 v\right)\left(v_{t}-6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}\right) \] Если $u(x, t)$ - решение уравнения Кортевега - де Фриса, то $v(x, t)$ удовлетворяет обобщенному уравнению Миуры - Кортевега - де Фриса \[ v_{t}-6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}=c(t) \exp \left[-2 \int_{0}^{x} v(\xi, t) d \xi\right] \] с нек-рой функцией $c(t)$. Обращение М. п. сводится к решению уравнения Риккати, к-рое подстановкой $v=\psi_{x}^{\prime} / \psi$ преобразуется в уравнение Штурма - Лиувилля \[ \Psi_{x x}^{\prime \prime}-u \psi=0 \]

преобразование \[ u(x, t)=v_{x}^{\prime}(x, t)+v^{2}(x, t), \] которое любое решение уравнения Миуры-Кортевега-де Фриса \[ v_{t}-6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}=0 \] переводит в решение Кортевега - де Фриса уравнения \[ u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0 \] Обратное, вообще говоря, неверно, но справедливо тождество \[ u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=\left(\frac{\partial}{\partial x}+2 v\right)\left(v_{t}-6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}\right) \] Если $u(x, t)$ - решение уравнения Кортевега - де Фриса, то $v(x, t)$ удовлетворяет обобщенному уравнению Миуры - Кортевега - де Фриса \[ v_{t}-6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}=c(t) \exp \left[-2 \int_{0}^{x} v(\xi, t) d \xi\right] \] с нек-рой функцией $c(t)$. Обращение М. п. сводится к решению уравнения Риккати, к-рое подстановкой $v=\psi_{x}^{\prime} / \psi$ преобразуется в уравнение Штурма - Лиувилля \[ \Psi_{x x}^{\prime \prime}-u \psi=0 \]