МНОГОВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

процессы резонансного взаимодействия коротких волн, при которых генерируются новые короткие волны. М. п. описываются уравнениями со слабой нелинейностью и возникают при решении многочисленных задач физики и механики. Различают трехволновые процессы - для квадратичной нелинейности, четырехволновые - для кубич. нелинейности и т. д. В физич. приложениях наиболее часто встречаются уравнения со слабой квадратичной нелинейностью: \[ \begin{gathered} L\left(-i h \partial_{t},-i h \partial_{x}, x, t, h\right) u= \\ =h A_{2}\left(x, t, u,-i h \partial_{t} u, \ldots,\left(-i h \partial_{x}\right)^{m_{2}} u, h\right)+ \\ +h^{2} A_{3}\left(x, t, u,-i h \partial_{t} u, \ldots,\left(-i h \partial_{x}\right)^{m_{3}} u, h\right)+\ldots, \end{gathered} \] где $L$ - оператор порядка $m_{1}, x \in \mathbb{R}^{n},\left.A_{j}\right|_{u=\sigma v}=\left.\sigma^{j} A_{j}\right|_{u=v}$, $\sigma>0, m_{j} \geqslant 0, j \geqslant 2, h \rightarrow 0-$ параметр. Характер М. п. определяется свойствами корней дисперсионного уравнения \[ \prod_{j=1}^{m_{1}}\left(\omega-\lambda_{j}(k, x, t)\right)=L(\omega, k, x, t, 0)=0, \] где $\operatorname{Im} \lambda_{j}=0$. При сильной дисперсии конечное число коротких волн порождает конечное число новых коротких волн. Так, для уравнения (1) с начальным условием \[ \left.u\right|_{t=0}=\varphi_{1}^{0}(x) \exp \left(i S_{1}^{0}(x) / h\right)+\varphi_{2}^{0}(x) \exp \left(i S_{2}^{0}(x) / h\right)+\text { к. с. }, \] где $\varphi_{j}^{0}, S_{j}^{0} \in \mathbb{C}^{\infty}, \operatorname{Im} S_{j}^{0}=0$, к. с.- комплексно сопряженные слагаемые, трехволновый процесс описывается асимптотич. решением \[ u=\sum_{j=1}^{3} \varphi_{j}(x, t) \exp \left(i S_{j}(x, t) / h\right)+\text { к.c. }+O(h) . \] Здесь $S_{j}$, как и в ВКБ-методе для линейных задач, удовлетворяют уравнениям \[ \frac{\partial S_{j}}{\partial t}-\lambda_{p_{j}}\left(\frac{\partial S_{j}}{\partial x}, x, t\right)=0 \] $1 \leqslant P_{j} \leqslant m_{1}$. Амплитуда $\varphi_{3}$ отлична от нуля при $t>0$, то есть порождается короткой волной $\varphi_{3} \exp \left(i S_{3} / h\right)$, при выполнении одного из условий синхронизма: $S_{3}=l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}, l_{i}= \pm 1$. Пусть \[ S_{3}=S_{1}+S_{2} \text {, } \] то есть $S_{j}$ удовлетворяют переопределенной системе (4), (5) с начальными условиями $S_{i}(x, 0)=S_{i}^{0}(x), i=1,2, S_{3}(x, 0)=$ $=S_{1}^{0}+S_{2}^{0}$. Тогда $\varphi_{j}$ находятся из уравнений трехволнового процесса (см. [1]-[3]): \[ \begin{gathered} \frac{d \varphi_{1}}{d t_{1}}=\gamma_{1} \bar{\varphi}_{2} \varphi_{3}, \quad \frac{d \varphi_{2}}{d t_{2}}=\gamma_{2} \bar{\varphi}_{1} \varphi_{3}, \quad \frac{d \varphi_{3}}{d t_{3}}=\gamma_{3} \varphi_{1} \varphi_{2}, \\ \left.\varphi_{i}\right|_{t=0}=\varphi_{i}^{0}, \quad i=1,2,\left.\quad \varphi_{3}\right|_{t=0}=0, \end{gathered} \] где $d / d t_{j}-$ полная производная вдоль характеристик (4), $\gamma_{j}=\gamma_{j}(x, t), \bar{\varphi}_{j}-$ комплексно сопряжены к $\varphi_{j}$. Решение (6) удовлетворяет так наз. соотношению Мэнли - Роу (см. $[1]-[3])$ : \[ \frac{d}{d t_{1}}\left|\varphi_{1}\right|^{2}+\frac{d}{d t_{2}}\left|\varphi_{2}\right|^{2}+x \frac{\gamma_{1}+\gamma_{2}}{\gamma_{3}} \frac{d}{d t_{3}}\left|\varphi_{3}\right|^{2}=0, \] где $x=1$ при $\operatorname{Re} \gamma_{j}=0$ и $x=-1$ при $\operatorname{Im} \gamma_{j}=0$. В случае постоянных коэффициентов уравнения (6) интегрируются методом обратной задачи (см. [4]). Если вместо (5) выполнено $S_{3}=l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}$ при нек-рых $l_{i}= \pm 1$, то $\varphi_{j}$ находятся из уравнений, получающихся из (6) заменой $\varphi_{i}$ на $\bar{\varphi}_{i}$ при $l_{i}=-1$. Если $S_{3} \neq l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}$ при всех $l_{i}= \pm 1$, то М. п. нет: $\gamma_{3}=0$, $\varphi_{3}=0$. При слабой дисперсии конечное число коротких волн порождает бесконечное число новых коротких волн. Напр., каждая из коротких волн (2) порождает при $t>0$ цуг волн: \[ F_{j}\left(S_{j}(x, t) / h, x, t\right)=\sum_{l \neq 0} \varphi_{j, l}(x, t) \exp \left(i l S_{j} / h\right) . \] Если $\lambda_{j}(k, x, t)$ не линейны по $k$ и выполнено (5), то цуги $F_{1}, F_{2}$ порождают цуг $F_{3}$, то есть $u=F_{1}\left(S_{1} / h, x, t\right)+F_{2}\left(S_{2} / h, x, t\right)+F_{3}\left(S_{3} / h, x, t\right)+h u_{1}$. (7) Здесь $S_{j}$ удовлетворяют (4), (5), $2 \pi$-периодические по $\tau$ функции $F_{j}(\tau, x, t)$ находятся из уравнений Кортевега - де Фриса - Маслова (см. [5]), напр., имеющих вид: \[ \left.\begin{array}{rl} K_{1}\left(F_{1}\right) & =\frac{\gamma_{1}}{2 \pi} \frac{\partial}{\partial \tau} \int_{0}^{2 \pi} F_{2}(\eta, x, t) F_{3}(\tau+\eta, x, t) d \eta, \\ K_{2}\left(F_{2}\right) & =\frac{\gamma_{2}}{2 \pi} \frac{\partial}{\partial \tau} \int_{0}^{2 \pi} F_{1}(\eta, x, t) F_{3}(\tau+\eta, x, t) d \eta, \\ K_{3}\left(F_{3}\right) & =\frac{\gamma_{3}}{2 \pi} \frac{\partial}{\partial \tau} \int_{0}^{2 \pi} F_{1}(\eta, x, t) F_{2}(\tau-\eta, x, t) d \eta, \\ K_{j}\left(F_{j}\right) & =\frac{d F_{j}}{d t_{j}}+\alpha_{j} F_{j} \frac{\partial F_{j}}{\partial \tau}+\beta_{j} \frac{\partial^{3} F_{j}}{\partial \tau^{3}}, \\ \left.F_{m}\right|_{t=0} & =\varphi_{m}^{0}(x) \exp (i \tau)+\text { к.c., } \quad m=1,2,\left.\quad F_{3}\right|_{t=0}=0 . \end{array}\right\} \] Аналогом соотношения Мэнли-Роу для (8) является равенство: \[ \frac{d}{d t_{1}} \int_{0}^{2 \pi} F_{1}^{2} d \tau+\frac{d}{d t_{2}} \int_{0}^{2 \pi} F_{2}^{2} d \tau+\frac{\gamma_{1}+\gamma_{2}}{\gamma_{3}} \frac{d}{d t_{3}} \int_{0}^{2 \pi} F_{3}^{2} d \tau=0 \] Поправка $u_{1}$ в асимптотич. решении (7) ограничена при выполнении условий, аналогичных условиям на малые знаменатели в КАМ-теории (см. [5]). М. п. (7) возможен также в случае $S_{3}=l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}$ для нек-рых $l_{i} \in \mathbb{Z}$. Если $S_{3} \neq l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}$ для всех $l_{i} \in \mathbb{Z}$, то $F_{3}=0$, а $F_{i}$ находятся из уравнений $K_{i}\left(F_{i}\right)=0, i=1,2$. Если дисперсия слабая и $\lambda_{j}(k, x, t)$ линейны по $k$, то происходит так наз. полный резонанс: короткие волны (2) порождают при $t>0$ короткие волны \[ \varphi_{l_{1} l_{2}}(x, t) \exp \left(i\left(l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}\right) / h\right) \] при всех $l_{1}, l_{2} \in \mathbb{Z}$ (см. [5]). Асимптотич. решение (1), (2) в этом случае имеет вид: \[ u=U\left(S_{1} / h, S_{2} / h, x, t\right)+O(h), \] где $S_{1}, S_{2}$ удовлетворяют уравнению (4), $U\left(\tau_{1}, \tau_{2}, x, t\right)-2 \pi$-периодична по $\tau_{1}, \tau_{2}$. Напр., при $m_{1}=1, \partial L(\omega, k, x, t, h) / \partial h=0$, уравнение для $U$ следующее: \[ \begin{gathered} \frac{d U}{d t_{1}}=i A_{2}\left(x, t, U,-i\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial t} \frac{\partial}{\partial \tau_{1}}+\frac{\partial S_{2}}{\partial t} \frac{\partial}{\partial \tau_{2}}\right) U, \ldots\right. \\ \left.\ldots,\left(-i \frac{\partial S_{1}}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \tau_{1}}-i \frac{\partial S_{2}}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \tau_{2}}\right)^{m_{2}} U, 0\right), \\ \left.U\right|_{t=0}=\varphi_{1}^{0} \exp \left(i \tau_{1}\right)+\varphi_{2}^{0}(x) \exp \left(i \tau_{2}\right)+\text { к.с. } \end{gathered} \] Аналогичные М.п. строятся в классе почти периодич. функций, а также для гиперболич. и параболич. систем (см. [5], [6]).

процессы резонансного взаимодействия коротких волн, при которых генерируются новые короткие волны. М. п. описываются уравнениями со слабой нелинейностью и возникают при решении многочисленных задач физики и механики. Различают трехволновые процессы - для квадратичной нелинейности, четырехволновые - для кубич. нелинейности и т. д. В физич. приложениях наиболее часто встречаются уравнения со слабой квадратичной нелинейностью: \[ \begin{gathered} L\left(-i h \partial_{t},-i h \partial_{x}, x, t, h\right) u= \\ =h A_{2}\left(x, t, u,-i h \partial_{t} u, \ldots,\left(-i h \partial_{x}\right)^{m_{2}} u, h\right)+ \\ +h^{2} A_{3}\left(x, t, u,-i h \partial_{t} u, \ldots,\left(-i h \partial_{x}\right)^{m_{3}} u, h\right)+\ldots, \end{gathered} \] где $L$ - оператор порядка $m_{1}, x \in \mathbb{R}^{n},\left.A_{j}\right|_{u=\sigma v}=\left.\sigma^{j} A_{j}\right|_{u=v}$, $\sigma>0, m_{j} \geqslant 0, j \geqslant 2, h \rightarrow 0-$ параметр. Характер М. п. определяется свойствами корней дисперсионного уравнения \[ \prod_{j=1}^{m_{1}}\left(\omega-\lambda_{j}(k, x, t)\right)=L(\omega, k, x, t, 0)=0, \] где $\operatorname{Im} \lambda_{j}=0$. При сильной дисперсии конечное число коротких волн порождает конечное число новых коротких волн. Так, для уравнения (1) с начальным условием \[ \left.u\right|_{t=0}=\varphi_{1}^{0}(x) \exp \left(i S_{1}^{0}(x) / h\right)+\varphi_{2}^{0}(x) \exp \left(i S_{2}^{0}(x) / h\right)+\text { к. с. }, \] где $\varphi_{j}^{0}, S_{j}^{0} \in \mathbb{C}^{\infty}, \operatorname{Im} S_{j}^{0}=0$, к. с.- комплексно сопряженные слагаемые, трехволновый процесс описывается асимптотич. решением \[ u=\sum_{j=1}^{3} \varphi_{j}(x, t) \exp \left(i S_{j}(x, t) / h\right)+\text { к.c. }+O(h) . \] Здесь $S_{j}$, как и в ВКБ-методе для линейных задач, удовлетворяют уравнениям \[ \frac{\partial S_{j}}{\partial t}-\lambda_{p_{j}}\left(\frac{\partial S_{j}}{\partial x}, x, t\right)=0 \] $1 \leqslant P_{j} \leqslant m_{1}$. Амплитуда $\varphi_{3}$ отлична от нуля при $t>0$, то есть порождается короткой волной $\varphi_{3} \exp \left(i S_{3} / h\right)$, при выполнении одного из условий синхронизма: $S_{3}=l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}, l_{i}= \pm 1$. Пусть \[ S_{3}=S_{1}+S_{2} \text {, } \] то есть $S_{j}$ удовлетворяют переопределенной системе (4), (5) с начальными условиями $S_{i}(x, 0)=S_{i}^{0}(x), i=1,2, S_{3}(x, 0)=$ $=S_{1}^{0}+S_{2}^{0}$. Тогда $\varphi_{j}$ находятся из уравнений трехволнового процесса (см. [1]-[3]): \[ \begin{gathered} \frac{d \varphi_{1}}{d t_{1}}=\gamma_{1} \bar{\varphi}_{2} \varphi_{3}, \quad \frac{d \varphi_{2}}{d t_{2}}=\gamma_{2} \bar{\varphi}_{1} \varphi_{3}, \quad \frac{d \varphi_{3}}{d t_{3}}=\gamma_{3} \varphi_{1} \varphi_{2}, \\ \left.\varphi_{i}\right|_{t=0}=\varphi_{i}^{0}, \quad i=1,2,\left.\quad \varphi_{3}\right|_{t=0}=0, \end{gathered} \] где $d / d t_{j}-$ полная производная вдоль характеристик (4), $\gamma_{j}=\gamma_{j}(x, t), \bar{\varphi}_{j}-$ комплексно сопряжены к $\varphi_{j}$. Решение (6) удовлетворяет так наз. соотношению Мэнли - Роу (см. $[1]-[3])$ : \[ \frac{d}{d t_{1}}\left|\varphi_{1}\right|^{2}+\frac{d}{d t_{2}}\left|\varphi_{2}\right|^{2}+x \frac{\gamma_{1}+\gamma_{2}}{\gamma_{3}} \frac{d}{d t_{3}}\left|\varphi_{3}\right|^{2}=0, \] где $x=1$ при $\operatorname{Re} \gamma_{j}=0$ и $x=-1$ при $\operatorname{Im} \gamma_{j}=0$. В случае постоянных коэффициентов уравнения (6) интегрируются методом обратной задачи (см. [4]). Если вместо (5) выполнено $S_{3}=l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}$ при нек-рых $l_{i}= \pm 1$, то $\varphi_{j}$ находятся из уравнений, получающихся из (6) заменой $\varphi_{i}$ на $\bar{\varphi}_{i}$ при $l_{i}=-1$. Если $S_{3} \neq l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}$ при всех $l_{i}= \pm 1$, то М. п. нет: $\gamma_{3}=0$, $\varphi_{3}=0$. При слабой дисперсии конечное число коротких волн порождает бесконечное число новых коротких волн. Напр., каждая из коротких волн (2) порождает при $t>0$ цуг волн: \[ F_{j}\left(S_{j}(x, t) / h, x, t\right)=\sum_{l \neq 0} \varphi_{j, l}(x, t) \exp \left(i l S_{j} / h\right) . \] Если $\lambda_{j}(k, x, t)$ не линейны по $k$ и выполнено (5), то цуги $F_{1}, F_{2}$ порождают цуг $F_{3}$, то есть $u=F_{1}\left(S_{1} / h, x, t\right)+F_{2}\left(S_{2} / h, x, t\right)+F_{3}\left(S_{3} / h, x, t\right)+h u_{1}$. (7) Здесь $S_{j}$ удовлетворяют (4), (5), $2 \pi$-периодические по $\tau$ функции $F_{j}(\tau, x, t)$ находятся из уравнений Кортевега - де Фриса - Маслова (см. [5]), напр., имеющих вид: \[ \left.\begin{array}{rl} K_{1}\left(F_{1}\right) & =\frac{\gamma_{1}}{2 \pi} \frac{\partial}{\partial \tau} \int_{0}^{2 \pi} F_{2}(\eta, x, t) F_{3}(\tau+\eta, x, t) d \eta, \\ K_{2}\left(F_{2}\right) & =\frac{\gamma_{2}}{2 \pi} \frac{\partial}{\partial \tau} \int_{0}^{2 \pi} F_{1}(\eta, x, t) F_{3}(\tau+\eta, x, t) d \eta, \\ K_{3}\left(F_{3}\right) & =\frac{\gamma_{3}}{2 \pi} \frac{\partial}{\partial \tau} \int_{0}^{2 \pi} F_{1}(\eta, x, t) F_{2}(\tau-\eta, x, t) d \eta, \\ K_{j}\left(F_{j}\right) & =\frac{d F_{j}}{d t_{j}}+\alpha_{j} F_{j} \frac{\partial F_{j}}{\partial \tau}+\beta_{j} \frac{\partial^{3} F_{j}}{\partial \tau^{3}}, \\ \left.F_{m}\right|_{t=0} & =\varphi_{m}^{0}(x) \exp (i \tau)+\text { к.c., } \quad m=1,2,\left.\quad F_{3}\right|_{t=0}=0 . \end{array}\right\} \] Аналогом соотношения Мэнли-Роу для (8) является равенство: \[ \frac{d}{d t_{1}} \int_{0}^{2 \pi} F_{1}^{2} d \tau+\frac{d}{d t_{2}} \int_{0}^{2 \pi} F_{2}^{2} d \tau+\frac{\gamma_{1}+\gamma_{2}}{\gamma_{3}} \frac{d}{d t_{3}} \int_{0}^{2 \pi} F_{3}^{2} d \tau=0 \] Поправка $u_{1}$ в асимптотич. решении (7) ограничена при выполнении условий, аналогичных условиям на малые знаменатели в КАМ-теории (см. [5]). М. п. (7) возможен также в случае $S_{3}=l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}$ для нек-рых $l_{i} \in \mathbb{Z}$. Если $S_{3} \neq l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}$ для всех $l_{i} \in \mathbb{Z}$, то $F_{3}=0$, а $F_{i}$ находятся из уравнений $K_{i}\left(F_{i}\right)=0, i=1,2$. Если дисперсия слабая и $\lambda_{j}(k, x, t)$ линейны по $k$, то происходит так наз. полный резонанс: короткие волны (2) порождают при $t>0$ короткие волны \[ \varphi_{l_{1} l_{2}}(x, t) \exp \left(i\left(l_{1} S_{1}+l_{2} S_{2}\right) / h\right) \] при всех $l_{1}, l_{2} \in \mathbb{Z}$ (см. [5]). Асимптотич. решение (1), (2) в этом случае имеет вид: \[ u=U\left(S_{1} / h, S_{2} / h, x, t\right)+O(h), \] где $S_{1}, S_{2}$ удовлетворяют уравнению (4), $U\left(\tau_{1}, \tau_{2}, x, t\right)-2 \pi$-периодична по $\tau_{1}, \tau_{2}$. Напр., при $m_{1}=1, \partial L(\omega, k, x, t, h) / \partial h=0$, уравнение для $U$ следующее: \[ \begin{gathered} \frac{d U}{d t_{1}}=i A_{2}\left(x, t, U,-i\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial t} \frac{\partial}{\partial \tau_{1}}+\frac{\partial S_{2}}{\partial t} \frac{\partial}{\partial \tau_{2}}\right) U, \ldots\right. \\ \left.\ldots,\left(-i \frac{\partial S_{1}}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \tau_{1}}-i \frac{\partial S_{2}}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \tau_{2}}\right)^{m_{2}} U, 0\right), \\ \left.U\right|_{t=0}=\varphi_{1}^{0} \exp \left(i \tau_{1}\right)+\varphi_{2}^{0}(x) \exp \left(i \tau_{2}\right)+\text { к.с. } \end{gathered} \] Аналогичные М.п. строятся в классе почти периодич. функций, а также для гиперболич. и параболич. систем (см. [5], [6]).