МОМЕНТА ОТОБРАЖЕНИЕ

отображение симплектического многообразия $(M, \omega)$ с пуассоновым действием группы Ли $G$ в сопряженное пространство $\mathbb{S}^{*}$ алгебры Ли группы $G$. Действие связной группы называется пуассоновым, если гамильтоновы векторные поля $v_{a}, a \in \mathbb{S}$, инфинитезимального действия алгебры Ли $\mathbb{S}$ группы $G$ обладают однозначными гамильтонианами $H_{a}$ такими, что $H_{[a, b]}=\left\{H_{a}, H_{b}\right\}$. После небольшой модификации многообразия $M$ (замены его на нек-рую накрывающую $\tilde{M}$, если необходимо) и группы $G$ (замены ее на нек-рое одномерное центральное расширение, если необходимо) любое действие можно превратить в пуассоново. Пуассоново действие задает М.о. многообразия $M$ в сопряженное пространство алгебры Ли группы: \[ P: M \rightarrow \mathbb{S}^{*}, P(x) a=H_{a}(x), x \in M, a \in \mathbb{S} . \] Моментом точки $x \in M$ называется ковектор $P(x) \in \mathbb{S}^{*}$. Действие группы $G$ при отображении моментов переходит в коприсоединенное представление. Если гамильтониан $H: M \rightarrow \mathbb{R}$ инвариантен относительно пуассонова действия группы $G$ на $M$, то момент является первым интегралом системы с функцией Гамильтона $\boldsymbol{H}$. Пример. Если группа $G$ действует на конфигурационном многообразии $X$ диффеоморфизмами, то соответствующее действие на фазовом пространстве $M=T^{*} X$ является пуассоновым. В частности, если $G$ - группа вращений трехмерного пространства вокруг оси, то момент - кинетич. момент относительно оси. Если $G-$ группа всех вращений пространства, то момент - вектор кинетич. момента. Если $G$ - группа параллельных переносов, то момент - вектор импульса. См. Симплектическая редукция. М. Э. Казарян.

отображение симплектического многообразия $(M, \omega)$ с пуассоновым действием группы Ли $G$ в сопряженное пространство $\mathbb{S}^{*}$ алгебры Ли группы $G$. Действие связной группы называется пуассоновым, если гамильтоновы векторные поля $v_{a}, a \in \mathbb{S}$, инфинитезимального действия алгебры Ли $\mathbb{S}$ группы $G$ обладают однозначными гамильтонианами $H_{a}$ такими, что $H_{[a, b]}=\left\{H_{a}, H_{b}\right\}$. После небольшой модификации многообразия $M$ (замены его на нек-рую накрывающую $\tilde{M}$, если необходимо) и группы $G$ (замены ее на нек-рое одномерное центральное расширение, если необходимо) любое действие можно превратить в пуассоново. Пуассоново действие задает М.о. многообразия $M$ в сопряженное пространство алгебры Ли группы: \[ P: M \rightarrow \mathbb{S}^{*}, P(x) a=H_{a}(x), x \in M, a \in \mathbb{S} . \] Моментом точки $x \in M$ называется ковектор $P(x) \in \mathbb{S}^{*}$. Действие группы $G$ при отображении моментов переходит в коприсоединенное представление. Если гамильтониан $H: M \rightarrow \mathbb{R}$ инвариантен относительно пуассонова действия группы $G$ на $M$, то момент является первым интегралом системы с функцией Гамильтона $\boldsymbol{H}$. Пример. Если группа $G$ действует на конфигурационном многообразии $X$ диффеоморфизмами, то соответствующее действие на фазовом пространстве $M=T^{*} X$ является пуассоновым. В частности, если $G$ - группа вращений трехмерного пространства вокруг оси, то момент - кинетич. момент относительно оси. Если $G-$ группа всех вращений пространства, то момент - вектор кинетич. момента. Если $G$ - группа параллельных переносов, то момент - вектор импульса. См. Симплектическая редукция. М. Э. Казарян.