МОНОГЕННАЯ ФУНКЦИЯ

функция комплексного переменного, имеющая конечную производную. Точнее, функция $f(z)$, определенная на множестве $E$ комплексной плоскости $\mathbb{C}$, называется моногенной (относительно множества $E$) в конечной неизолированной точке $\zeta \in E$, если она имеет в этой точке конечную производную $f^{\prime}{ }_{E}(\zeta)$ по переменному $z \in E$: \[ f_{E}^{\prime}(\zeta)=\lim _{z \rightarrow \zeta, z \in E} \frac{f(z)-f(\zeta)}{z-\zeta} \] Функция, моногенная в каждой неизолированной точке множества $E$, называется моногенной на множестве $E$. Если $E=G$ - область плоскости $\mathbb{C}$, то функция, моногенная на $G$, называется аналитической функцией в области $G$. Если $E$ не является областью, то моногенные на $E$ функции, вообще говоря, уже не обладают характерными свойствами аналитич. функций. Однако если множество $E$, не содержащее в своем составе областей, является достаточно «массивным» вблизи большинства своих точек (точнее, если дополнение к $E$ в плоскости $\mathbb{C}$ является достаточно «разреженным» вблизи большинства точек $\zeta \in E$), то функции, моногенные на $E$, обладают в ослабленном виде многими свойствами аналитич. функций. В попытках разобраться в глубинных связях между основными свойствами аналитич. функций понятие аналитич. функции обобщалось различными путями: посредством обобщения ее области определения, обобщения самого понятия производной, ослабления условий Коши - Римана, ослабления условий теоремы Мореры и т. п. Если \[ f(z)=f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y) \] (при этом $u(x, y)$ и $v(x, y)$ - действительнозначные функции), то для аналитичности $f(z)$ в области $G$ достаточно (и необходимо) выполнения в каждой точке $x+i y \in G$ одновременно двух условий: 1) $u(x, y)$ и $v(x, y)$ имеют полные дифференциалы $d u(x, y)$ и $d v(x, y)$ по совокупности действительных переменных $(x, y) ; 2)$ выполнены условия Коши - Римана: \[ \frac{\partial u(x, y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x, y)}{\partial y}, \quad \frac{\partial u(x, y)}{\partial y}=-\frac{\partial v(x, y)}{\partial x} . \] Условия этой теоремы ослаблялись и обобщались. Е. П. Долженко.

функция комплексного переменного, имеющая конечную производную. Точнее, функция $f(z)$, определенная на множестве $E$ комплексной плоскости $\mathbb{C}$, называется моногенной (относительно множества $E$) в конечной неизолированной точке $\zeta \in E$, если она имеет в этой точке конечную производную $f^{\prime}{ }_{E}(\zeta)$ по переменному $z \in E$: \[ f_{E}^{\prime}(\zeta)=\lim _{z \rightarrow \zeta, z \in E} \frac{f(z)-f(\zeta)}{z-\zeta} \] Функция, моногенная в каждой неизолированной точке множества $E$, называется моногенной на множестве $E$. Если $E=G$ - область плоскости $\mathbb{C}$, то функция, моногенная на $G$, называется аналитической функцией в области $G$. Если $E$ не является областью, то моногенные на $E$ функции, вообще говоря, уже не обладают характерными свойствами аналитич. функций. Однако если множество $E$, не содержащее в своем составе областей, является достаточно «массивным» вблизи большинства своих точек (точнее, если дополнение к $E$ в плоскости $\mathbb{C}$ является достаточно «разреженным» вблизи большинства точек $\zeta \in E$), то функции, моногенные на $E$, обладают в ослабленном виде многими свойствами аналитич. функций. В попытках разобраться в глубинных связях между основными свойствами аналитич. функций понятие аналитич. функции обобщалось различными путями: посредством обобщения ее области определения, обобщения самого понятия производной, ослабления условий Коши - Римана, ослабления условий теоремы Мореры и т. п. Если \[ f(z)=f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y) \] (при этом $u(x, y)$ и $v(x, y)$ - действительнозначные функции), то для аналитичности $f(z)$ в области $G$ достаточно (и необходимо) выполнения в каждой точке $x+i y \in G$ одновременно двух условий: 1) $u(x, y)$ и $v(x, y)$ имеют полные дифференциалы $d u(x, y)$ и $d v(x, y)$ по совокупности действительных переменных $(x, y) ; 2)$ выполнены условия Коши - Римана: \[ \frac{\partial u(x, y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x, y)}{\partial y}, \quad \frac{\partial u(x, y)}{\partial y}=-\frac{\partial v(x, y)}{\partial x} . \] Условия этой теоремы ослаблялись и обобщались. Е. П. Долженко.